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** 確率の乗法定理 **

■ 条件つき確率の定義式

※事象Bが起こる確率[単なる(普通の)確率]は,集合Bの要素の個数n(B)を全体集合Uの要素の個数で割った分数で定義されます.
これに対して,「事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる確率」「事象Aが起こったということが分かっているときに,さらに事象Bが起こる確率」は「AのもとでBが起こる条件付確率」と呼ばれ,で表されます.
※この定義において,事象Aが起こったと分かっている場合なので,上の図の灰色で示した注という箇所は,この条件付確率の分母にも分子にも入っていないことに注意しましょう.
分母を払って変形すると,
になります.この式を確率の乗法定理といいます.

※ 確率の乗法定理は,3つ以上の事象についても順次掛けていえば成り立ちます.

【例1】
袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないとき,Xが当り,Yがはずれる確率
(解答)
Xが当たりくじを引くという事象をAで,Yがはずれくじを引くという事象をBで表わすと
P(A)=
Xが当りくじを引いたとき,残り4個のくじの中に当り1個,はずれ3個となるから,
(B)=
ゆえに,
P(A∩B)=P(A)・P(B)=


【例2】
袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないとき,XとYのどちらが有利か.
(解答)
Xが当たる確率は  ・・・(1)
Yが当たるのは,「Xが当たってYも当たる場合」と「XがはずれてYが当たる場合」がある.
 ・・・(2)
(1)(2)は等しいので,X,Yの当たる確率は等しい.  先に引いた人が当たるのを見たら後に引く人は当たりにくくなり,
先に引いた人がはずれるのを見たら後に引く人は当たりやすくなるが,
※重要※
始めの時点で考えれば,
「くじに当たる確率は,引く順序に関係ない.」



≪問題1≫
袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないものとするとき,Xがはずれくじを引きYが当りくじを引く確率を求めよ.






≪問題2≫
袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないとき,少なくとも1人が当りくじを引く確率を求めよ.






≪問題3≫
袋の中に白玉2個,赤玉3個,黄玉4個の計9個の球が入っている.A,Bがこの順に球を1個ずつ取り出し,取り出した玉は元に戻さないものとする.このとき,AとBが同じ色の玉を取り出す確率を求めよ.







≪問題4≫(むずかしい)
特大,大,中,小の4個のさいころを投げるとき,出た目の和が20になる確率を求めよ.






≪問題5≫(むずかしい)
A,B,Cの3人で2回ジャンケンをし,1回目に負けた者は2回目のジャンケンに加われないものとする.ジャンケンを2回するとき,2回目のジャンケンでAが1人勝ちになる確率を求めよ.






≪問題6≫(むずかしい)
A,B,Cの3人でジャンケンをし,負けた者は次回以降のジャンケンに加われないものとする.3回までジャンケンできるとき,3回目までに勝者が1人に絞られる確率を求めよ.







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■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の乗法定理について/18.8.29]
数学Aの「原因の確率」のページがあると良いです。 毎度毎度質問、それも直接ゲイシャ様のページの問題と関係ないものですみませんが、できたら教えていただけませんか。教科書に問題と解答例が載っていますが納得できません。 例題、ある製品を製造する工場A,BがありAの製品には3%、Bの製品には4%の不良品が含まれている。Aの製品とBの製品を4:5の割合で混ぜた大量の製品の中から1個を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1)それが不良品である確率 (2)不良品であったときに、それがAの製品である確率 解答例(1)は理解できたのでざっくりとだけ書きます。 不良品はAの製品の場合と、Bの製品の場合があり、それらの事象は互いに排反であるから ((4/9)×(3/100))+((5/9)×(4/100))=8/225 やっかいなのは解答例(2)です。まず教科書の解答例を書きます。 取り出した1個がAの製品であるという事象をA、Bの製品であるという事象をB、不良品であるという事象をEとする。求める確率は、条件付き確率P_E(A)であるから、P_E(A)=(P(A∩B))/(P(E))=((4/9)×(3/100))÷(8/225)=3/8 この解答例(2)ではベン図でいうとこの部分集合Eを全事象として、そのなかでAである確率を計算しています。 個人的には問題文があいまあだと感じています。どちらかというと問題文のにある混ぜた全ての製品の中から1個を取り出したときにそれが不良品かつ工場Aの製品である確率を問われているように読めます。 私の考えはおかしく、教科書の問題文も解答例も完全なものなのでしょうか? よろしくお願いいたします。
=>[作者]:連絡ありがとう.そのページの先頭にある図と解説,特に※の部分を読んでください.また,原因の確率についてはこのページの例3を読んでください.なお,あなたの間違いは,分母のとり方について,定義よりも自分の信条を優先させている点にあります.