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※高校数学Vの媒介線数表示と極座標について,このサイトには次の教材があります.
GoogleやYAHOO ! などから検索でこの頁に直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください.  が現在地です.

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媒介変数表示1 同(2)

放物線の頂点・円の中心の軌跡

サイクロイド,トロコイド,アステロイド,インボリュート

極座標 極方程式 同(2)

== 放物線の頂点の軌跡,円の中心の軌跡 ==
例1
aの値が実数全体を変化するとき,
放物線 y=x2−2ax+1の頂点の軌跡の方程式を求めなさい。

[イメージ作りでスタート]
 図の青いスケール上(aの値を表わす)でマウスを動かすと,対応するaの値のときの放物線 y= x2 -2ax +1のグラフができます。
(グラフは,-4<a<4のときに右の方眼紙の中に入ります。)
[第一印象]
 もとの放物線が下に凸であるのに対して,頂点●の軌跡は上に凸の放物線です。

[頂点の軌跡の方程式を求める]
放物線 y = x2 -2ax +1の頂点の座標は
y = x2 -2ax +1 = (x - a)2 + 1 - a2 により

x = a
y = 1 - a2
この媒介変数表示からaを消去すると
y = 1 - x2 ・・・(答)


例2
 a の値が変化するとき,
円 x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 の中心の軌跡を求めなさい。


[イメージ作りでスタート]
 右図の青いスケール上(aの値を表わす)でマウスを動かすと,対応するaの値のときの円 x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 のグラフができます。
(グラフは,-4<a<4のときに右の方眼紙の中に入ります。)


[第一印象]
 中心は直線上を動く。
 半径は変化し,aの絶対値が大きいときには円にならない。

[円の中心の軌跡の方程式を求める]

x2+y2-2ax-4ay+6a2-16=0 より
(x - a)2 +(y - 2a)2 = 16 - a2
これは
中心がx = a・・(1)
        y = 2a・・(2)
半径2が 16 - a2 の円
(ただし,円となるには-4<a<4)・・(3)
(1)(2)よりaを消去して
y = 2x (ただし(3)より-4<x<4)・・・(答)

※x=±4のときは点となり円には含めません。



■ 問題 ・・・ 計算用紙が必要です。
≪1≫
2次関数 y = x2 + 2ax + 3a2 - 1 の頂点の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y = x2 + 2x
y = 2x2 - 1
y = x2 + 2x - 1


[ヒント]
≪2≫
2次関数 y=-x2+2(a+1)x+2a+6 の頂点の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y=x2+2x+2
y=x2+2x+3
y=x2+2x+4


[ヒント]
≪3≫
円 x2+y2-2ax+4ay+5a2-4=0 の中心の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y = 2x
y = -2x
x = 2y
x = -2y


[ヒント]
≪4≫
円 x2+y2+(2a+2)x-(4a+2)y+6a2+6a-2=0
の中心の軌跡を求めなさい。
[選択肢]

y=-2x-1

(-3<x<1)
y=-2x-1
(-2<x<2)
y=-2x-1
(x<-3,1<x)
y=-2x-1
(x<-2,2<x)

[ヒント]

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