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== 指数法則 ==
■正の指数の意味
 高校1年までに登場する指数 (数や式の右肩に書かれる小さな記号)には、「正の整数」だけが使われており、ものを掛ける回数を表しています。

23=2×2×2
35=3×3×3×3×3

 a2 , a3は「aの2乗」,「aの3乗」などといいます。
 aと書かれたものは、a1の省略とみなします。
(すぐ後に登場する0乗の話と混同しないように。指数が書かれていないのは「なにもない=0乗」ではなく、1乗の省略です)
≪問1≫ 53に等しいものを次のうちから選んでください。

8 15 53 125
■指数法則
 次の関係式を指数法則といいます。
(1) am×an=am+n a2×a3=a2+3=a5
(2) am÷an=am−n a5÷a2=a5−2=a3
(3) (am)n=amn (a3)2=a3×2=a6
(4) (ab)n=anbn (ab)3=a3b3
(5) ( )n = ( )3 =

※指数法則は高校1年までは、m , n正の整数の場合だけを考えます。高校2年以上ではm , n(正負0を含む)整数の場合にも適用されます。」 さらに、正負の分数、正負の無理数の場合にもそのまま使います。
 この頁ではm , nが正負の整数の場合までを扱います。

≪問2≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。(数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。)

(1)63×64= 67 612 634 681

(2)56÷52= 53 54 58 512

(3)(74)2= 76 78 716 742

(4)(2×3)5= 2×35 25×3 25×35 2×15



■負の指数の定義
 高校2年で登場する負の指数 (初めは「負の整数」だけを扱い、すぐに負の分数や負の無理数にも適用されます)は、上に述べた「掛ける回数」という解釈では理解できません。(ある数をマイナス3回掛けるとは?などと空想の世界に入り込んでも、何も得られません。)

 負の指数は、「指数法則がいつでも成り立つよう」に指数として使える「数字の範囲を拡張する」ために導入されます。
 つまり、純粋に「負の指数とは何か?」と考えることから負の指数の定義が出てくるのではなく、指数法則という「演算」の都合に合わせて「負の指数」が定義されています。
a2÷a5のように割る方の指数が大きい数字のときでも
指数法則am÷an=am−nが成り立つようにするには
[指数法則の式から考えれば]
a2÷a5=a2−5=a−3
[意味から考えれば]
a2÷a5= = =

そこで a−3=と決めれば、

指数が−3のときにも成り立つようになります。

一般に、負の指数a−nを次のように定義します。
 nは正の整数、(−nは負の整数)、a0とするとき
a−n = 3−4 =
aが分母に来るから、a0という条件が必要
また、右の解説から分かるように0の指数(0乗)を次のように定義します。
a0 = 1 30 = 1
a0 = 0「ではない」ことに注意!

a3÷a3のように割る式と割られる式が同じとき
指数法則a3÷a3
[指数法則の式から考えれば]
a3÷a3=a3−3=a0
[意味から考えれば]
a3÷a3= = 1
そこで、指数法則am÷an=am−nm=nのときにも成立するようにするためには
a0=1
と決めます。

≪問3≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。





≪問4≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。(数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。)

(1)24÷2−5×26= 23 25 27 215


(2)= 82 8−2 8 8−10



(3)= 97 9−1 9−4 9−7



(4)(3−2×4)−5=
310×4−5 3−2×4−5 12−10 12−5


(5)= 52 56 5−6 5−18



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■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.8.3]
非常にわかりやすいです。もっと複雑な問題が欲しい気もします。
=>[作者]:連絡ありがとう.そのページは基本の入り口です.ページの先頭にメニューがありますので,続きを見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.7.19]
授業聞いてもわからなくて、必死に調べてたどり着いたのがこのサイトでした。すごくわかりやすくて、解説もバッチグーです!
=>[作者]:連絡ありがとう.点検のついでにコメント欄もすっきりさせておきました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.5.16]
高一です。分かるところもあったのですが、書き方などが教科書のように難しいので、もう少しわかりやすく、かみくだいて説明して欲しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.もっと前の負の指数の導入のところから読んだらどうでしょうか.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.3.10]
答えはどこにあるんですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.見ているだけでは出ません.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.2.22]
上記の負の指数の定義の解説中、 「指数法則という「演算」の都合に合わせて「負の指数」が定義されています。」 とあるのですが、これは歴史的にみてどのような事情や欲求があって、そのように定義されたのでしょうか? 文系頭の私が朧げに聞いたところでは、そもそも「数える」という行為と「計算する(演算する」という行為は全くの別物で、前者は「対象の量の大小を比較する」欲求と。後者は「対象を操作する」という欲求によるところが大きいたと聞いた覚えがあるのですが…。 実際のところはどのような事情があり、また「数える」という行為と「計算する」という行為には本質的にどのような違いがあるのか、できましたらご教示ください。
=>[作者]:連絡ありがとう.○○とはといった大げさな議論をしても,身に着かないことが多いです.もし,実際に身に着けて,学習や仕事に役立てようと考えておられるのなら,簡単な操作を「真似する」ことから始めてください.その必要がなければ,amazonなどに数学史の参考書が結構たくさん出ていますので,そちらを読まれるとよいでしょう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.2.20]
指数法則に関して質問させていただきました。 ページの内容に直接的には関係ない質問を連投してしまい、確認などお手数をおかけしてしまい、すみませんでした。 お忙しい中すばやい対応、ありがとうございました。
=>[作者]:連絡ありがとう.いや,この間違いを見つけてくれたのは,すごいと思います.(複素関数論はきれいなので,とても気に入っていましたが,高校の教員になってから全然使う場面がなくて,いわゆる竹光状態で申し訳ないことです)
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.2.20]
前回指数法則に関して質問させていただきました、ご返答ありがとうございます。 (攻撃的と思えわれましたらすみません、長く文章を書くのが苦手なもので。) ネット上には指数法則が成立しない例というものも紹介されているところもあります。通常の複素解析の教科書ではnが自然数ならe^(nz)=(e^x)^zとありますが、e^(mn)=(e^m)^nが一般の複素数m,nで成り立つという記述は見たことがありません。私の勉強不足のせいかもしれませんが、もし証明や参考文献がありましたら教えてください。
=>[作者]:連絡ありがとう.指数が複素数であることは問題ないですが,その教材のレベルでe^(mn)=(e^m)^nが一般の複素数m,nで成り立つと主張する必要はなく,その根拠もないので,その個所を削除しました.(複素関数の微積が自由にできるはずなのに,指数法則の幾つかを使っていないとは,目から鱗です.複素関数論といえば50年も前の参考書で,カビが・・・)
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.2.20]
『数学Bを習う人は最終的にm , nが複素数の場合でもよいことが分かります。』の部分の根拠が分かりません、出典など教えていただけないでしょうか。(指数法則(3)に関してです。)
=>[作者]:連絡ありがとう.この教材は,20年近く書き足したものなので,どの時代に書いたものなのかよくわかりませんが(書き直すとファイルのyyyy.mm.ddが変わる),この数十年間の学習指導要領の改訂でオイラーの定理が入ったことはないようですので,訂正しました.なお,あなたの書き方は丁寧ですが,戦闘モードの匂いが付いているのが幾分気になるところです.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.1.14]
4^a=-4 は、なんですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.このページの内容と関係のない質問です.指数方程式の質問なら,指数方程式のページで方程式の解を尋ねるべきです.
高校生でない方が尋ねておられるのなら,複素関数で留数定理かオイラーの定理の辺りを調べるとよいでしょう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/18.1.10]
とても分かりやすいです!ありがとうございます!!
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.12.03]
本当にわかりやすかったありがとうございます!
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.10.19]
なんにもわからん
=>[作者]:連絡ありがとう.YAHOO!から検索で直接にその頁に入られて,3分ほど見ただけで,前のページに書いてあることを読んでおられないようです.サブメニューで負の指数の定義を30分くらいやってからそのページに戻るとよいでしょう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.8.19]
問題形式になっているのがいいです 間違えたときも、それに沿って解説をして貰えるのが非常に親切だしわかりやすくて助かります
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.8.5]
問4の(5)は分母の指数が等号と重なって読めないです。
=>[作者]:連絡ありがとう.Safariで見た場合でも,読めないというのはやや誇張がありますが,重なっているとはいえるので訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.2.7]
悪い所は一切ないと思います。非常にわかりやすいです
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/16.11.24]
わかりやすかったです!
=>[作者]:連絡ありがとう.