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== 指数法則 ==
■正の指数の意味
 高校1年までに登場する指数 (数や式の右肩に書かれる小さな記号)には、「正の整数」だけが使われており、ものを掛ける回数を表しています。

23=2×2×2
35=3×3×3×3×3

 a2 , a3は「aの2乗」,「aの3乗」などといいます。
 aと書かれたものは、a1の省略とみなします。
(すぐ後に登場する0乗の話と混同しないように。指数が書かれていないのは「なにもない=0乗」ではなく、1乗の省略です)
≪問1≫ 53に等しいものを次のうちから選んでください。

8 15 53 125
■指数法則
 次の関係式を指数法則といいます。
(1) am×an=am+n a2×a3=a2+3=a5
(2) am÷an=am−n a5÷a2=a5−2=a3
(3) (am)n=amn (a3)2=a3×2=a6
(4) (ab)n=anbn (ab)3=a3b3
(5) ( )n = ( )3 =

※指数法則は高校1年までは、m , n正の整数の場合だけを考えます。高校2年以上ではm , n(正負0を含む)整数の場合にも適用されます。」 さらに、正負の分数、正負の無理数の場合にもそのまま使います。数学Bを習う人は最終的にm , n複素数の場合でもよいことになります。
 この頁ではm , nが正負の整数の場合までを扱います。

≪問2≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。(数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。)

(1)63×64= 67 612 634 681

(2)56÷52= 53 54 58 512

(3)(74)2= 76 78 716 742

(4)(2×3)5= 2×35 25×3 25×35 2×15



■負の指数の定義
 高校2年で登場する負の指数 (初めは「負の整数」だけを扱い、すぐに負の分数や負の無理数にも適用されます)は、上に述べた「掛ける回数」という解釈では理解できません。(ある数をマイナス3回掛けるとは?などと空想の世界に入り込んでも、何も得られません。)

 負の指数は、「指数法則がいつでも成り立つよう」に指数として使える「数字の範囲を拡張する」ために導入されます。
 つまり、純粋に「負の指数とは何か?」と考えることから負の指数の定義が出てくるのではなく、指数法則という「演算」の都合に合わせて「負の指数」が定義されています。
a2÷a5のように割る方の指数が大きい数字のときでも
指数法則am÷an=am−nが成り立つようにするには
[指数法則の式から考えれば]
a2÷a5=a2−5=a−3
[意味から考えれば]
a2÷a5= = =

そこで a−3=と決めれば、

指数が−3のときにも成り立つようになります。

一般に、負の指数a−nを次のように定義します。
 nは正の整数、(−nは負の整数)、a0とするとき
a−n = 3−4 =
aが分母に来るから、a0という条件が必要
また、右の解説から分かるように0の指数(0乗)を次のように定義します。
a0 = 1 30 = 1
a0 = 0「ではない」ことに注意!

a3÷a3のように割る式と割られる式が同じとき
指数法則a3÷a3
[指数法則の式から考えれば]
a3÷a3=a3−3=a0
[意味から考えれば]
a3÷a3= = 1
そこで、指数法則am÷an=am−nm=nのときにも成立するようにするためには
a0=1
と決めます。

≪問3≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。





≪問4≫ 次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。(数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。)

(1)24÷2−5×26= 23 25 27 215


(2)= 82 8−2 8 8−10



(3)= 97 9−1 9−4 9−7



(4)(3−2×4)−5=
310×4−5 3−2×4−5 12−10 12−5


(5)= 52 56 5−6 5−18



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■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/17.2.7]
悪い所は一切ないと思います。非常にわかりやすいです
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数法則について/16.11.24]
わかりやすかったです!
=>[作者]:連絡ありがとう.