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○ ２次方程式の解と係数の関係
２次方程式 ax2+bx+c=0 ( a≠0 ) の２つの解を α,β とすると，
α+β=− αβ= が成り立つ． |
[ 証明を見る ] → （この定理は何の役に立つのか） 例1 3x2+5x+1=0 の２つの解を α,β とするとき，α+β,αβ の値を求めたいとき α,β= だから
α+β=+=−
が成り立つ．αβ=×== しかし，問題を見ただけでこの答は − , だと分かる． |
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次の空欄を埋めよ．なお，答が負の分数になるときは，分子を負の数にして答えよ． |
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| ■ 問題２ 次の空欄を埋めよ． |
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■ 問題３ 次の空欄を埋めよ． |
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○ 解の公式を用いた因数分解 ２次方程式 ax2+bx+c=0 ( a≠0 ) の２つの解を α,β とすると，
※ 「２次方程式の解の公式」により，どんな２次方程式でも解を求めることができるので，さらにこの公式を用いれば，どんな２次式でも因数分解できる．ただし，「２次方程式の解の公式」からは，無理数解や虚数解が出る場合もあるので，「複素数の係数まで使えば，どんな２次式でも因数分解できる」という意味になる． 例題 次の式を複素数の範囲で因数分解せよ． x2+x+1=0 の解を求めると x= になるから，これらを α,β として因数分解の公式に代入すると x2+x+1=(x−)(x−) =(x+ )(x+) |
（証明について） 教科書においては通常，解と係数の関係を用いてこの因数分解公式が示される． このページの別添証明のように，この因数分解公式を用いて解と係数の関係を示すときは，循環論法にならないように気をつけて，因数分解公式を先に示すべきであるが，教材の並べ方については通常の教科書の順に従った．（つまり，別添証明で証明済みである．） ■因数分解に用いる係数の範囲■ 「 x4−4 を因数分解せよ．」というような問題では係数にどの範囲の数まで用いるかによって，次の（ア）（イ）（ウ）の３通りの因数分解が考えられる． （ア） x4−4=(x2−2)(x2+2) （イ） x4−4=(x−)(x+)(x2+2) （ウ） x4−4=(x−)(x+)(x−i)(x+i) （ア）のように，係数に有理数の範囲の数まで用いて因数分解することを「有理数の範囲で因数分解する」という．同様にして，（イ）のように係数に実数の範囲の数まで用いて因数分解することを「実数の範囲で因数分解する」といい，（ウ）のように係数に複素数の範囲の数まで用いて因数分解することを「複素数の範囲で因数分解する」という． ○ 複素数の範囲で因数分解すれば，整式は１次式の積に書ける． ○ 何も断りがないときは，有理数の範囲で因数分解すればよい． 例 通常は，「 x3−1 を因数分解せよ．」というような問題では， x3−1=(x−1)(x2+x+1) でよく， x3−1=(x−1)(x+ )(x+) までは求められない． ○ 有理数の範囲ですでに１次式に因数分解されているものは，実数の範囲に広げても結果は同じである．実数の範囲を複素数の範囲に広げるときも同様． |
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■ 問題４ (1) x4−x2−2 を実数の範囲で因数分解したものを右から選べ． |
ア (x2+1)(x2−2) イ (x2+1)(x−)(x+) ウ (x−i)(x+i)(x−)(x+) |
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(2) x4+2x3−3x2−2x+2 を有理数の範囲で因数分解したものを右から選べ．解説 f(x)=x4+2x3−3x2−2x+2とおくと，f(1)=0, f(−1)=0だから因数定理により(x−1)(x+1)=x2−1で割り切れる.
割り算を行うとf(x)=(x2−1)(x2+2x−2)となるが，x2+2x−2を因数分解すると無理係数になるから，そこで止める |
ア (x2+2x−2)(x2−1) イ (x2+2x−2)(x+1)(x−1) ウ (x+1+)(x+1−)(x+1)(x−1) |
| (3) x4−9 を複素数の範囲で因数分解したものを右から選べ． |
ア (x2+3)(x2−3) イ (x2+3)(x+)(x−) ウ (x+i)(x−i)(x+)(x−) |
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○ ２数を解とする２次方程式の作成 ２つの解 α,β が与えられているとき，これらが解となる１つの２次方程式は
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例 α= , β= を解とする２次方程式を求めると α+β=1 , αβ= より, x2−x+=0 が１つの２次方程式であるが，両辺に9をかけて， 9x2−9x+2=0 とするのが普通である． 一般に，２次方程式の両辺を定数倍しても解は変らないから， a(x−α)(x−β)=0 としてもよい |
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■ 問題５ |
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| 例題 2x2+5x+1=0 の２つの解を α,β とするとき，２数 2α,2β を解とする２次方程式を求めよ． （答案）（定数倍を除いて決まる） 2x2+5x+1=0 の解と係数の関係から |
 ※ 与えられた方程式についての「解と係数の関係」から，求める方程式の「解と係数の関係」を求める． |
| ■ 問題６ |