■3次以上の因数分解(例題→選択問題)→ 携帯版は別頁→ 印刷用PDF版は別頁
※ 3次以上の式の因数分解を行う強力な方法として「因数定理」があるが,これは数学IIで習う.数学Iではもっと簡単に「因数分解公式」「置き換え」などで因数分解できるものだけを扱う.

[I]   a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
[II]  a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
■証明するには右辺を展開してみるとよい.
 (a+b)(a2ab+b2)
 =a3a2b+ab2
 +a2bab2+b3
 =a3________+b3=(左辺)
 (1次が+)(2次の符号が交替)⇒(3次は両端だけ残る)
 (ab)(a2+ab+b2)
 =a3+a2b+ab2
 a2bab2b3
 =a3________b3=(左辺)
 (1次の符号が交替)(2次の符号は一定)⇒(3次は両端だけ残る)
このように「中間項が消える」のは,一方の符号だけが交替で現われるためである.
他の例
 (x+1)(x3−x2+x−1)
 =x4−x3+x2−x
 +x3−x2+x−1
 =x4________−1
 (x−1)(x4+x3+x2+x+1)
 =x5+x4+x3+x2+x
 −x4−x3−x2−x−1
 =x5___________−1
注意すべきこと
[I] [II] の公式は (a+b)2=a2+2ab+b2 とは全く関係がない.
すなわち
a3−b3 #等しくない# (a−b)(a2+2ab+b2)
a3+b3 #等しくない# (a+b)(a2−2ab+b2)

[I] [II]の例
x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2·x+22)=(x+2)(x2−2x+4)
8x3−27=(2x)3−33=(2x−3)(4x2+(2x)·3+32)
______=(2x−3)(4x2+6x+9)

問題1 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)

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次の公式は教科書には登場しないが,入試ではよく出る.
[III]   a3+b3+c3−3abc
______=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

■証明するには,まず (a+b)3 を作るとよい.
 a3+b3+c3−3abc
___=(a+b)3−3a2b−3ab2+c3−3abc
___=(a+b)3+c3−3a2b−3ab2−3abc
___={(a+b)+c}{(a+b)2−(a+b)c+c2}−3a2b−3ab2−3abc
___=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−bc−ca)−3ab(a+b+c)
___=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

[III]の例
x3+y3+1−3xy
___=(x+y+1)(x2+y2+1−xy−x−y)
x3−8y3+6xy+1=x3+(−2y)3+13−3·x·(−2y)·1
___=(x−2y+1)(x2+4y2+1+2xy+2y−x)
問題2 次の式を因数分解せよ. (正しいものを選べ.)

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[IV]   x2 , x4 , x6 ··· のようにx の偶数乗から成る式を複二次式という.
 複二次式は x2=A と「置き換え」ると因数分解しやすい
[IV]の例
x4+x2−6 の因数分解
____x2=A とおくと
____(原式)=A2+A−6=(A+3)(A−2)
____元の x に戻すと (x2+3)(x2−2) …(答)
x4−6x2+8 の因数分解
____x2=A とおくと
____(原式)=A2−6A+8=(A−2)(A−4)
____元の x に戻すと (x2−2)(x2−4)
※安心するのはまだ早い! x2−4 は,さらに因数分解できる.
____(x2−2)(x+2)(x−2) …(答)
※ 考えようによっては,x2−2(x+)(x−) とも書けるが,通常「特に断り書きがなければ,係数は有理数(整数・分数)の範囲で因数分解する」ことになっているので上記の答案でよい.
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問題3 次の式を因数分解せよ.
 (正しいものを選べ.)


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[V]
 (x2+2x)2−2(x2+2x)−3 などのように「同じもの」が2回以上登場するときは,その同じものを A とおくと因数分解しやすい.
[IV]の例
(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 の因数分解
____x2+2x=A とおくと
____(原式)=A2−2A−3=(A+1)(A−3)
____元の x に戻すと
____(x2+2x+1)(x2+2x−3)=(x+1)2(x+3)(x−1) …(答)

同じものがないときは「作る」
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8 の因数分解
(原式)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−8
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
x2+5x=A とおくと
(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
=(A+4)(A+6)−8=A2+10A+24−8=A2+10A+16
=(A+8)(A+2)
元の x に戻すと
(x2+5x+8)(x2+5x+2) …(答)
(※整数係数ではこれ以上因数分解できない.)
問題4 次の式を因数分解せよ.
 (正しいものを選べ.)
※ 途中計算は各自で左のように行うこと.



■[個別の頁からの質問に対する回答][3次以上の因数分解について/17.4.23]
x4乗−16の答えがわかりません。 教えてください!
=>[作者]:連絡ありがとう.まず,x4−16の答という言い方はおかしいです.x4−16の因数分解というべきです.
x4−16=(x2−4)(x2+4)=(x−2)(x+2)(x2+4)
x2+4の部分をこれ以上因数分解すると虚数係数となるので,通常(実係数,さらに有理係数を前提とする)はこれ以上因数分解しない.
■[個別の頁からの質問に対する回答][3次以上の因数分解について/17.3.22]
8x3乗−27の答えを教えて下さい
=>[作者]:連絡ありがとう.(1) まず初めに「8x3乗−27の答え」というものはないことに注意してください.「8x3乗−27=0の答え」はありますし「8x3乗−27の因数分解」はあります.文字式の場合と方程式の場合では使われる用語が違います.(2) 次に,8x3−27の因数分解は[I] [II]の例 という箇所に窓枠で囲って書いてあります.書いてあることに気が付かなかった場合は,見たら解決です.書いてあっても,それが因数分解の答えだとは思えない場合は少々込み入った話になります.
の部分をどうしても1次式の積にしたい場合は解の公式を使って虚数の係数で因数分解しますが,通常「因数分解しなさい」という場合は無理数や虚数の係数を使わずに,整数や分数の範囲で因数分解します.
因数分解しなさいという場合:はそのままでよい
複素数の範囲で因数分解しなさいという場合:
■[個別の頁からの質問に対する回答][3次以上の因数分解について/17.3.22]
X4乗-6X2乗➕1の因数分解
=>[作者]:連絡ありがとう.サブメニューをたどって,因数分解の応用問題を見てください.x4−6x2+1=(x2+1)2−(??)2と変形できるか,それともx4−6x2+1=(x2−1)2−(??)2と変形できるかを両方試してから判断します.
質問の仕方がかなり横着なのでそれ以上は答えない方がよいでしょう.

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