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【剰余の定理 I】
 整式P(x)を1次式x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい

○剰余の定理を使えば割り算をしなくても「余り」が求められます.ただし,剰余の定理を使っても「商」は求められません.

※この定理では,「x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい」という形になっているので,「x+aで割ったときの余りはP(−a)に等しい」というように,見かけの符号を逆に読まなければならないことに注意

【例】
(1) 整式x2+1x−1で割ったときの余りを求めてください.
(解答)
12+1=2
(2) 整式x2−3x+4x+1で割ったときの余りを求めてください.
(解答)
(−1)2−3×(−1)+4=8
(3) 整式x3+1x−2で割ったときの余りを求めてください.
(解答)
23+1=9
【剰余の定理 II】
 整式P(x)を1次式ax+b(ただしa≠0)で割ったときの余りはに等しい

○剰余の定理Tではxの係数が1である場合にだけ余りが求められましたが,剰余の定理Uを使えばxの係数が1に限られず一般の1次式ax+bで割ったときの余りも求めることができます.

※この定理では,「ax+bで割ったときの余りはに等しい」という形になっているので,見かけの符号を剰余の定理Tとは逆に読まなければならないことに注意

【例】
(1) 整式x2+12x+1で割ったときの余りを求めてください.
(解答)

(2) 整式x2+13x−2で割ったときの余りを求めてください.
(解答)


※(より深く理解するために)
 剰余の定理Tを,ごく自然に使えば「x−aで割ったときの余りはP(a)」という場合にaは整数に見えますが,実際には分数でも(無理数でも,虚数でも)かまいません.
 そうすると,たとえばというような値は,剰余の定理Tで解釈すれば,で割ったときの余りを表しているように見えます.
 また,剰余の定理Uで解釈すれば2x−1で割ったときの余りを表しているように見えます.
 これは矛盾ではなく,どちらで解釈してもかまいません.実はで割ったときの余りと2x−1で割ったときの余りは等しく,商が異なるだけです.

 次のように対応しています.
上記の【例】(1)では


上記の【例】(2)では


【要約】
○剰余の定理T,Uのどちらで考えてもよい.(定理Uはa=1の場合でも使える)
○慣れるまでは,「見かけのままに」定理Tはxの係数が1である場合に使い,定理Uxの係数が1でない場合に使うと決めるとよい.


【問題1】 正しいものを選んでください.(計算用紙が必要です)
(1) P(x)=x2+2x−4x−1で割った余りを求めてください.
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(2) P(x)=x3+2x+2で割った余りを求めてください.
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(3) P(x)=x3−x−1x−2で割った余りを求めてください.
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(4) P(x)=2x2−3x+4x+1で割った余りを求めてください.
−6 −5 −1 3 5 7 9 10



【問題2】 正しいものを選んでください.(計算用紙が必要です)
(1) P(x)=x2+2x−32x−1で割った余りを求めてください.
0 1 3 4

(2) P(x)=2x2−x+32x+1で割った余りを求めてください.
0 1 3 4

(3) P(x)=2x2−x+3で割った余りを求めてください.
0 1 3 4

(4) P(x)=x2+2x−33x−2で割った余りを求めてください.
0 1 3 4

(5) P(x)=x2+2x−3で割った余りを求めてください.
0 1 3 4



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