【wxMaximaで定積分】
求めたい定積分 |
maximaでの入力 |
結果 |
m, nを整数とするとき
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx \]&chs=130x38)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx \]&chs=130x38)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx \]&chs=130x38)
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declare(m, integer),declare(n,integer); → done
ここまでの入力でm, nに何らかの仮定が入っていないかどうかを確かめると
compare(m,n); → unknown
is(m=n); → false
integrate(sin(m*x)*sin(n*x), x, -%pi, %pi);
integrate(cos(m*x)*cos(n*x), x, -%pi, %pi);
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![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=0)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=0)
数学の公式としては,
(1) m≠nのとき![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=0)
(2) m=n(≠0)のとき![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\pi)
左のis(m=n); → falseから分かるように,この入力ではm≠nの場合の結果が示されている
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=0)
最後の式はm≠n,m=nのいずれの場合でも0になる.
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○maximaに少し複雑な定積分を解いてもらうには
(求めたい定積分)
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(wxMaximaの入力)
integrate(1/(sin(x)+cos(x)), x, 0, %pi/2); |
(結果)
▼この入力では結果が得られない
○三角関数の合成により分母を
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sqrt{2}\sin(x%2B\frac{\pi}{4})&chf=bg,s,f9f9f9)
に変形してから
integrate(1/sqrt(2)*1/sin(x+%pi/4), x, 0, %pi/2);
とすると
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{\log \Bigl(\frac{\sqrt{2}%2B 2}{2} \Bigr)-\log \Bigl(-\frac{\sqrt{2}-2}{2} \Bigr)}{\sqrt{2}}&chf=bg,s,f9f9f9)
まで得られる.
◎数学の答案としては
(分子)=![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log(\frac{2%2B\sqrt{2}}{2}\times \frac{2}{2-\sqrt{2}})=\log(\frac{2%2B\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})&chf=bg,s,f9f9f9) ![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl==\log(\frac{\sqrt{2}%2B1}{\sqrt{2}-1})&chf=bg,s,f9f9f9)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl==\log(\frac{(\sqrt{2}%2B 1)^2}{2-1})=2\log(\sqrt{2}%2B 1)&chf=bg,s,f9f9f9)
だから
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sqrt{2}\log(\sqrt{2}%2B 1)&chf=bg,s,f9f9f9)
がよい.
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(求めたい定積分)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{3\sin x%2B 4\cos x}dx \]&chf=bg,s,ffffee) |
(wxMaximaの入力)
integrate(sin(x)/(3*sin(x)+4*cos(x)), x, 0, %pi/2); |
(結果)
▼この入力では結果が得られない
○三角関数の合成により分母を
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=5\sin(x%2B\alpha)&chf=bg,s,f9f9f9)
に変形してから
Maximaでの入力を
integrate(sin(x)/(5*sin(x+asin(4/5))), x, 0, %pi/2);
とすると
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{\frac{4\log(\frac{4}{\sqrt{5}})%2b4\log(\frac{2}{\sqrt{5}})}{5}-\frac{8\log(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}})%2B 8\log(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})-3\pi}{10}}{5}&chf=bg,s,f9f9f9)
まで得られる.
◎数学の答案としては,この式を変形して
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{16\log 2-8\log 3%2B 3\pi}{50}&chf=bg,s,f9f9f9)
とするのがよい.
※筆算による吟味
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin x}{3\sin x%2B 4\cos x}dx \]) …(1)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos x}{3\sin x%2B 4\cos x}dx \]) …(2)
とおくと
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[3I%2B 4J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3\sin x%2B 4\cos x}{3\sin x%2B 4\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2} \]) …(3)
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl==\log 3-2\log 2) …(4)
(3)×3-(4)×4
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⇒ 上記2つの例から
分母が三角関数の和差になっているときは,分母を合成してからmaximaにかけるとよい
○次のような定積分は高校数学でできる
○次のような定積分は高校数学では難しいのでMaximaで確かめるとよい
※次の積分は,フレネル積分と呼ばれ幾何光学の回折現象に関係している.
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) dx= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\])
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\[ \int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) dx= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\])
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