■指数関数、対数関数の不定積分携帯版は別頁
【基本公式】
exdx=ex+C …(1)
ekxdx= +C …(2)
axdx= +C …(3)
logxdx=xlogx−x+C …(4)
≪証明≫
(1) ←
ex=exだからexdx=ex+Cが成り立つ。
(2) ←
ekx=kex , ( )=ekxだからekxdx= +Cが成り立つ。
(3) ←
 まず、次の関係を示す。(指数関数の底はeが最も使いやすく、底がeでないものはすべてeに直す。このとき、調整のために上の公式(2)のkのところにlogaが入るということ。)
a=eloga …(3.1)
ax=e xloga …(3.2)
対数の定義:ar=Mr=logaM(数学II)により
a=ex とおくと x=logea=logaだからa=eloga →(3.1)
(別の証明)
aの対数はloga
elogaの対数はlog(eloga)=logloge=loga
これらは等しいから、もとのものも等しい。
ゆえに、a=eloga →(3.1)
したがって、ax=(eloga)x=e xloga →(3.2)
axdx
=exlogadx …底をeに変換する
= +C …←(2)
= +C …底をaに戻せばこの形になる。
(4) ←
 次のように微分すれば示されるが、教科書では(別の証明)のように部分積分法が使える例として示される。
(xlogx−x)=1·logx+x −1=logx
により、logxdx=xlogx−x+C

(別の証明)
logxdx=logx · 1dx
部分積分法の公式f·g’dx=f·gf '·gdx
において次のように対応させる。
f’= f=logx
logxは微分する側に選ぶ)
g’=1 g=x(多項式を積分する側に選ぶのは、
相手が対数のときの例外)

logx · 1dx =logx·x x+C=xlogx−x+C


(多項式)logxdx(指数関数)logxdx

(三角関数)logxdx、などにおいては「logxを微分する側に選ぶ(g=logxとおく)」とスムーズに計算できる。
 逆に選べば(f’=logxとおくと)fすなわちlogxの不定積分が必要となり、xlogx−xを宙で暗記していることが前提となって少し苦しくなる。
指数関数の不定積分[例]

(1) e3xdx
(答案)
公式(2)においてk=3と考える。
e3xdx= +C …(答)

(2) 3xdx
(答案)
公式(3)においてa=3と考える。
3xdx= +C …(答)

(3)  dx
(答案)
(ex+1)’=exだから次の公式が使える。
【特急券あり】
dx=log|f(x)|+C

dx= dx=log(ex+1) …(答)
ex+1は常に正だから絶対値記号は不要)

(4) xexdx
(答案)
部分積分法の公式において次のように対応させる。
f’=ex f=ex
g’=1 ←g=x(多項式を微分する側に
選ぶと次数が下がる)

xexdx=xexexdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C …(答)


(5) xex2dx
(答案)
備考:abcと書くときは、(ab)cではなくa(bc)のことを表す・・・かっこがなければ指数の部分を先に計算するのが原則。
x2=tとおいて置換積分を行う。
x2=tとおくと、 =2xdx=
xex2dx=xet = etdt= +C= ex2+C …(答)
≪問題≫ 次の不定積分を求めよ。
(正しいものを選べ。※暗算では無理です。計算用紙が必要です。)

(1) e−2xdx

2e−2x+C −2e−2x+C

+C +C

(2) 2xdx

+C +C


2x+C 2exlog2+C

(3)  dx

log(ex+e−x) +C log|ex−e−x| +C


log(ex+1)+C log|ex−1|+C

(4) 2xe−3xdx

xe−3x+C xe−3x+C


(3x+1)e−3x+C (x−3)e−3x+C



対数関数の不定積分[例]

(1) log(1−3x)dx
(答案)
1−3x=tとおいて置換積分を行う。
1−3x=tとおくと、 = −3dx=
log(1−3x)dx=log t dt
= − log t dt= − (t log t−t)+C
= − {(1−3x)log(1−3x)−(1−3x)}+C …(答)

(2)  dx
(答案)
log x=tとおいて置換積分を行う。
log x=tとおくと、 = dx= xdt
dx= xdt
= log|t|+C=log|logx|+c
(別解) (log x)= だから
dx= dx=log|log x|+C

(3) logx dx
部分積分法の公式f·g’dx=f·gf·g’dx
において次のように対応させる。
f’= =x f= x= x
g’= g=logx

logx dx= x logx− dx
= x logx− x+C
= x logx− x+C
≪問題≫ 次の不定積分を求めよ。
(正しいものを選べ。※暗算では無理です。計算用紙が必要です。)

(1) log(2x+3)dx

+C +C

(2x+3)log(2x+3)−(2x+3)+C

{ (2x+3)log(2x+3)−(2x+3) }+C

(2) xlogxdx

logx+C x2logx−x2+C

logx+C logx− +C

(3) xlog(x2+2)dx

xlog(x2+2)−(x2+2)+C

log(x2+2)−(x2+2)+C

(x2+2)log(x2+2)−(x2+2)+C

(x2+2){log(x2+2)−1}+C

(4)  dx

logx+C +C

+C logx− +C




■[個別の頁からの質問に対する回答][指数関数、対数関数の不定積分について/16.11.6]
数式に使われている色が全体的に淡いのでもう少し濃くしてもらいたい
=>[作者]:連絡ありがとう.少し濃くしました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][指数関数、対数関数の不定積分について/16.10.29]
被積分関数の左端とインテグラルが被って表示されることがある
=>[作者]:連絡ありがとう.Mac上のSafariでということのようですが,Windows上のSafariでは問題ないので,「ことがあります」のようにあいまいな言い方でなく,「何番目の式のどの関数」というように具体的に述べてもらわないと対応できません.

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