■指数関数、対数関数の不定積分
【基本公式】
exdx=ex+C …(1)
ekxdx= +C …(2)
axdx= +C …(3)
logxdx=xlogx−x+C …(4)
≪証明≫
(1) ←
ex=exだからexdx=ex+Cが成り立つ。
(2) ←
ekx=kex , ( )=ekxだからekxdx= +Cが成り立つ。
(3) ←
　まず、次の関係を示す。（指数関数の底はeが最も使いやすく、底がeでないものはすべてeに直す。このとき、調整のために上の公式(2)のkのところにlogaが入るということ。）
a=eloga …(3.1)
ax=e xloga …(3.2)
対数の定義：ar=M ⇔ r=logaM（数学II）により
a=ex とおくと x=logea=logaだからa=eloga →(3.1)
（別の証明）
aの対数はloga
elogaの対数はlog(eloga)=loga·loge=loga
これらは等しいから、もとのものも等しい。
ゆえに、a=eloga →(3.1)
したがって、ax=(eloga)x=e xloga →(3.2)
axdx
=exlogadx …底をeに変換する
= +C …←(2)
= +C …底をaに戻せばこの形になる。 		(4) ←
　次のように微分すれば示されるが、教科書では（別の証明）のように部分積分法が使える例として示される。
(xlogx−x)=1·logx+x −1=logx
により、logxdx=xlogx−x+C

（別の証明）
logxdx=logx · 1dx
部分積分法の公式f·g’dx=f·g−f·g’dx
において次のように対応させる。
f’= ←f=logx
（logxは微分する側に選ぶ）
g’=1→ g=x（多項式を積分する側に選ぶのは、
相手が対数のときの例外）

logx · 1dx =xlogx−x +C=xlogx−x+C


※（多項式）logxdx、（指数関数）logxdx、

（三角関数）logxdx、などにおいては「logxを微分する側に選ぶ（g=logxとおく）」とスムーズに計算できる。
　逆に選べば（f’=logxとおくと）fすなわちlogxの不定積分が必要となり、xlogx−xを宙で暗記していることが前提となって少し苦しくなる。
指数関数の不定積分［例］

(1)　e3xdx
（答案）
公式(2)においてk=3と考える。
e3xdx= +C …（答）

(2)　3xdx
（答案）
公式(3)においてa=3と考える。
3xdx= +C …（答）

(3)　 dx
（答案）
(ex+1)’=exだから次の公式が使える。
【特急券あり】
dx=log|f(x)|+C

dx= dx=log(ex+1) …（答）
（ex+1は常に正だから絶対値記号は不要）

(4)　xexdx
（答案）
部分積分法の公式において次のように対応させる。
f’=ex→ f=ex
g’=1 ←g=x（多項式を微分する側に
選ぶと次数が下がる）

xexdx=xex−exdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C …（答）


(5)　xex2dx
（答案）
備考：abcと書くときは、(ab)cではなくa(bc)のことを表す･･･かっこがなければ指数の部分を先に計算するのが原則。
x2=tとおいて置換積分を行う。
x2=tとおくと、 =2x → dx=
xex2dx=xet = etdt= +C= ex2+C …（答）
≪問題≫　次の不定積分を求めよ。
（正しいものを選べ。※暗算では無理です。計算用紙が必要です。）

(1)　e−2xdx

2e−2x+C −2e−2x+C

+C − +C

(2)　2xdx

+C +C


2x+C 2exlog2+C

(3)　 dx

log(ex+e−x) +C log|ex−e−x| +C


log(ex+1)+C log|ex−1|+C

(4)　2xe−3xdx

− xe−3x+C − xe−3x+C


− (x+3)e−3x+C − (x−3)e−3x+C
対数関数の不定積分［例］

(1)　log(1−3x)dx
（答案）
1−3x=tとおいて置換積分を行う。
1−3x=tとおくと、 = −3 → dx=
log(1−3x)dx=log t dt
= − log t dt= − (t log t−t)+C
= − {(1−3x)log(1−3x)−(1−3x)}+C …（答）

(2)　 dx
（答案）
log x=tとおいて置換積分を行う。
log x=tとおくと、 = → dx= xdt
dx= xdt
= log|t|+C=log|logx|+c
（別解） (log x)= だから
dx= dx=log|log x|+C

(3)　logx dx
部分積分法の公式f·g’dx=f·g−f·g’dx
において次のように対応させる。
f’= =x→ f= x= x
g’= ←g=logx

logx dx= x logx− dx
= x logx− x+C
= x logx− x+C
≪問題≫　次の不定積分を求めよ。
（正しいものを選べ。※暗算では無理です。計算用紙が必要です。）

(1)　log(2x+3)dx

+C +C

(2x+3)log(2x+3)−(2x+3)+C

{ (2x+3)log(2x+3)−(2x+3) }+C

(2)　xlogxdx

logx+C x2logx−x2+C

logx+C logx− +C

(3)　xlog(x2+2)dx

xlog(x2+2)−(x2+2)+C

log(x2+2)−(x2+2)+C

(x2+2)log(x2+2)−(x2+2)+C

(x2+2){log(x2+2)−(x2+2)}+C

(4)　 dx

logx+C +C

+C logx− +C
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