■内分点の内分点→ 携帯版は別頁
【内分点の公式】
 複素数平面において,2点A(z1 ), B(z2 )を結ぶ線分ABp:qの比に内分する点を表す複素数は

(解説)
 右図1のようになりますが,見かけの上で遠い方の比率を掛けたものが分子に来ます.
【内分点の内分点】
 複素数平面上に3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき
z=
とすると,
(1)
ABq:pに内分する点をFとするとき,
zCF(q+p):rに内分する点になる.
(2)
BCr:qに内分する点をDとするとき,
zAD(q+r):pに内分する点になる.
(3)
CAr:pに内分する点をEとするとき,
zBE(r+p):qに内分する点になる.
(*)
zCF,AD, BEの交点を表す.
(解説)
(1)
C:z3 , F:
だから
z==
のように変形すると,zCF(q+p):rに内分する点を表すことがわかります.
(2)
A:z1 , D:
だから
z==
のように変形すると,zAD(r+q):pに内分する点を表すことがわかります.
図1
図2
(3)
B:z2 , E:
だから
z==
のように変形すると,zBE(r+p):qに内分する点を表すことがわかります.

(*)
 (1)(2)(3)の結果から,zは3直線CF,AD, BEのいずれの上にもあるから,CF,AD, BEの交点を表す.
【例1】
 右図3のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,AB2:3に内分する点をFAC3:4に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.
(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.
(解答)
(1)右図4のように,FからBEに平行な線を引き,ACと交わる点をGとすると
AG:GE=2:3=8:12
AE:EC=4:5=20:25だから
AG:GE:EC=8:12:25
したがって
FP:PC=12:25
PF() , C(z3)12:25に内分する点だから
=…(答)
(2)(1)よりCP:PF=25:12…(答)
また
=
=
と変形すると,
PE() , B(z2)10:27に内分する点であることがわかる.
BP:PE=27:10…(答)
図3
図4
(3)
=
=
と変形すると,
PA(z1) , D()22:15に内分する点であることがわかる.
CD:DB=5:6…(答)
AP:PD=22:15…(答)
【問題1】
 右図5のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,ABの中点をFAC2:3に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(以下,正しいものを選んでください.)
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.

図5
【問題2】
 右図6のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,AB1:3に内分する点をFAC2:1に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(以下,正しいものを選んでください.)
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.

図6
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