【内分点の公式】
　複素数平面において，２点A(z1 ), B(z2 )を結ぶ線分ABをp:qの比に内分する点を表す複素数は

図１

【内分点の内分点】
　複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき
z=
とすると，
(1) (2) (3) (*)

図２

【例１】
　右図３のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを2:3に内分する点をF，ACを3:4に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．
(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．

図４

【問題１】
　図５のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABの中点をF，ACを2:3に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．

右図のように，FからBEに平行な直線を引き，ACと交わる点をGとすると，
AG:GE=1:1, GE:EC=1:3
となるから
FP:PC=1:3
したがって =

BP:PE=3:2 BP:PE=4:3
BP:PE=5:3 BP:PE=5:4

= と変形できるから，PはB(z2 )とE()とを5:3に内分します．

CP:PF=2:1 CP:PF=3:1
CP:PF=3:2 CP:PF=4:3

(1)の結果から，CP:PF=3:1です．

CD:DB=2:1 CD:DB=3:1
CD:DB=3:2 CD:DB=4:3

= と変形できるから，DはB(z2 )とC(z3 )とを2:3に内分します．（CD:DB=3:2）

AP:PD=1:1 AP:PD=3:2
AP:PD=4:3 AP:PD=5:3

= から，PはA(z1 )とD()とを5:3に内分します．

【問題２】
　図６のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを1:3に内分する点をF，ACを2:1に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．

図のように，FからBEに平行な直線を引き，ACと交わる点をGとすると， AG:GE=1:3, AE:EC=2:1=4:2
だから
GE:EC=3:2
FP:PC=3:2
したがって =

BP:PE=6:1 BP:PE=7:1
BP:PE=8:1 BP:PE=9:1

= と変形できるから，PはB(z2 )とE()とを9:1に内分します．

CP:PF=2:3 CP:PF=2:5
CP:PF=3:4 CP:PF=4:5

(1)の結果から，CP:PF=2:3です．

CD:DB=1:6 CD:DB=1:7
CD:DB=1:8 CD:DB=1:9

= と変形できるから，DはB(z2 )とC(z3 )とを6:1に内分します．（CD:DB=1:6）

AP:PD=5:2 AP:PD=7:3
AP:PD=8:3 AP:PD=9:4

= から，PはA(z1 )とD()とを7:3に内分します．

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