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二進法

【解説】十進法と二進法
 十進法とは,を使って数字を表わし,10になったら位を上げる(10が10個でさらに位を上げる..)書き方です.
 二進法とは,を使って数字を表わし,2になったら位を上げる(2が2個でさらに位を上げる..)書き方です.
 例
十進法
二進法
10
11
100
101
110
111
1000
十進法
9
10
11
12
13
14
15
16
17
二進法
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
 十進法による表現と区別するために,十進法以外の表現については,小さなかっこを付けて表わします.
 例
 10(2)=2 ,100(2)=4, 111(2)=7, 1111(2)=15

 各位の数が表わすもの
 十進法で表わした123は 1×1022×10+3 (=100+20+3) です.
        2405は 2×1034×1020×10+5 (=2000+400+5) です.
  (十進法では各位の数が1,10,100,1000,..を何倍するかを表わしています.)
 二進法で表わした11(2)は 1×2+1 (=2+1 = 3)です.
        101(2)は 1×220×2+1 (=4+1 = 5) です.
       1111(2)は 1×231×221×2+1 (=8+4+2+1 = 15) です.
  (二進法では各位の数が1,2,4,8,16,32,..を何倍するかを表わしています.
実際には0(ない)と1(ある)だけです.)


【問題】
 例にならって,二進法で書かれた次の数を十進法に直しなさい.
 例 10110(2)1×240×231×221×2+0 =16+4+2 = 22
 二進法
十進法

例     10110(2)
22

(1)   111(2)

(2)   1000(2)

(3)   10101(2)

(4)   11111(2)

(5)   100000(2)


【解説】
 十進法で表された数を二進法で表すには,次の関係を用いると便利です.
 まず
 10111(2)1×240×231×221×2+1 =16+4+2+1 = 23
 を例にとって考えます.
 23=1×240×231×221×2+1
 =2(1×230×221×2+1)+1
 =2(2(1×220×2+1)+1)+1
 =2(2(2(1×2+0)+1)+1)+1
 =2(2(2(2(1)+0)+1)+1)+1
のように変形すると,
 1.右端の位の数は23を2で割ったときの余りです
  2(2(2(2(1)+0)+1)+1)1   ・・・・・→ 1
 2.このときの商 2(2(2(1)+0)+1)+1 ・・・→ 1
  をさらに2で割った余りは右から2つ目の位の数です.
 3.このときの商 2(2(1)+0)+1 ・・・・・・→ 
  をさらに2で割った余りは右から3つ目の位の数です.
 4.このときの商 2(1)+0  ・・・・・・・・・→ 0
  をさらに2で割った余りは右から4つ目の位の数です.
 5.このときの商 1     ・・・・・・・・・→ 1
  をさらに2で割った余りは右から5つ目の位の数です.

   右から順

【 要 点 】
2で割った余りを「右から順」に並べる
※ 覚え方としては、「下から順に、左から書く」という解説が多く見られますが、「上から順に右から」というのと同じことになります。

【問題】
 十進法で表された次の各数を2進法で表しなさい.(2)は略しなさい.
 
 十進法
二進法

(1)     7

(2)    11

(3)    52

(4)    61

(5)    98


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