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二進法

【解説】十進法と二進法
　十進法とは，０〜９を使って数字を表わし，10になったら位を上げる（10が10個でさらに位を上げる..）書き方です．
　二進法とは，０〜１を使って数字を表わし，２になったら位を上げる（２が２個でさらに位を上げる..）書き方です．
　例
十進法
０
１
２
３
４
５
６
７
８
二進法
０
１
１０
１１
１００
１０１
１１０
１１１
１０００
十進法
9
10
11
12
13
14
15
16
17
二進法
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
　十進法による表現と区別するために，十進法以外の表現については，小さなかっこを付けて表わします．
　例
　10(2)＝２　，100(2)＝４，　111(2)＝７，　1111(2)＝１５
◆二進法はなぜ重要か？　◆三進法や五進法はないのか？　◆十二進法や十六進法ではどんな数字を使うのか？

　各位の数が表わすもの
　十進法で表わした123は　1×102＋2×10＋3 (=100+20+3)　です．
　　　　　　　　2405は　2×103＋4×102＋0×10＋5 (=2000+400+5)　です．
　　（十進法では各位の数が1,10,100,1000,..を何倍するかを表わしています．）
　二進法で表わした11(2)は　1×2＋1　(=2+1 = 3)です．
　　　　　　　　101(2)は　1×22＋0×2＋1 (=4+1 = 5)　です．
　　　　　　　1111(2)は　1×23＋1×22＋1×2＋1 (=8+4+2+1 = 15)　です．
　　（二進法では各位の数が1,2,4,8,16,32,..を何倍するかを表わしています．
実際には０（ない）と１（ある）だけです．）

【問題】
　例にならって，二進法で書かれた次の数を十進法に直しなさい．
　例　10110(2)＝1×24＋0×23＋1×22＋1×2＋0 =16+4+2 = 22
 二進法
十進法
例　　　　　10110(2)
22
（１）　　　111(2)

（２）　　　1000(2)

（３）　　　10101(2)

（４）　　　11111(2)

（５）　　　100000(2)


【解説】
　十進法で表された数を二進法で表すには，次の関係を用いると便利です．
　まず
　10111(2)＝1×24＋0×23＋1×22＋1×2＋1 =16+4+2+1 = 23
　を例にとって考えます．
　23＝1×24＋0×23＋1×22＋1×2＋1
　＝2(1×23＋0×22＋1×2＋1)＋1
　＝2(2(1×22＋0×2＋1)＋1)＋1
　＝2(2(2(1×2＋0)＋1)＋1)＋1
　＝2(2(2(2(1)＋0)＋1)＋1)＋1
のように変形すると，
　１．右端の位の数は23を２で割ったときの余りです
　　2(2(2(2(1)＋0)＋1)＋1)＋1　　　・・・・・→　１
　２．このときの商　2(2(2(1)＋0)＋1)＋1 ・・・→　１
　　をさらに２で割った余りは右から２つ目の位の数です．
　３．このときの商　2(2(1)＋0)＋1 ・・・・・・→　１
　　をさらに２で割った余りは右から３つ目の位の数です．
　４．このときの商　2(1)＋0  ・・・・・・・・・→　0
　　をさらに２で割った余りは右から４つ目の位の数です．
　５．このときの商　1  　　　・・・・・・・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から５つ目の位の数です．

 　　右から順

【　要　点　】　
２で割った余りを「右から順」に並べる
※　覚え方としては、「下から順に、左から書く」という解説が多く見られますが、「上から順に右から」というのと同じことになります。
【問題】
　十進法で表された次の各数を２進法で表しなさい．(2)は略しなさい．
 
 十進法
二進法
（１）　　　　　７

（２）　　　　１１

（３）　　　　５２

（４）　　　　６１

（５）　　　　９８


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