関数の連続，極限関数

■　関数の連続，極限関数

◇解説◇
　関数のグラフが視覚的には「つながっていて，切れ目がない」ときに，連続であるといいます。
　これを数式を用いて調べるには，次の定義によります。

◇連続の定義◇
　次の関係が成り立つとき，関数 f(x) は x = a において連続であるといいます。(連続でないとき，不連続であるといいます。)
f(a) = f(x)　･･･　(1)

(*)　詳しくいえば，
関数値 f(a) が存在し，･･･ (2)
極限値 f(x) が存在し，･･･ (3)

それらが一致するとき，･･･→(1)　連続であるといいます。

　例えば，関数 f(x) = は， x = 0 において，
下図右側のようになり，関数値の存在(2)という条件を満たしていません。　(これだけで不連続がいえますが，さらに，極限値の存在(3)という条件も満たしていません。 x → 0 のとき「極限」は存在しますが，∞は有限確定の値でないので，正確には「極限値」とはいえません。下の図で「無限遠点でつながっている」とは考えません。)
関数 f(x) = は x = 0 のとき不連続ですが，
関数　g(x) = も x = 0 のとき不連続です。

(*)　さらに詳しくいえば，
　x が a よりも大きな値をとりながら a に近づくときの極限値(右極限値)と，x が a よりも小さな値をとりながら a に近づくときの極限値(左極限値)とが異なる場合，極限値は存在しないといいます。(どんな近づき方をしても１つの有限確定の値に近づくときに，その値を極限値とします。)

上の図は，関数 f(x) =

（x ≠ 0 のとき）

0 　(x = 0 のとき)

のグラフです。
右極限値は　f(x) = = 1

左極限値は　f(x) = = −1

これらが一致しないので，x → 0 のとき極限値は存在せず，不連続です。

以上のまとめ
１．[簡単な方]
　関数 y = f(x) の x = a における連続性を調べるには，
関数値 f(a) が存在し，･･･ (2)
極限値 f(x) が存在し，･･･ (3)

それらが一致するかどうかで判断します。

２．[詳しい方]
極限値の存在が微妙な判断となるときは(3)を分けて考え
右極限値 f(x) が存在し，･･･ (3-1)

左極限値 f(x) が存在し，･･･ (3-2)

それらが一致するとき： f(x) = f(x)･･･ (3)

その値を極限値 f(x) とします。

◇次の勝ち抜き戦で１つでも負けたらダメということです◇

■例題

(1)

関数 f(x) =

(x ≠ 0 のとき)

0　(x = 0 のとき)

の x = 0 における連続性を調べなさい。

(答案)
= = x = 0

= = (−x) = 0

だから f(x) = 0
また，f(0) = 0
f(x) = f(0) が成り立つから x = 0 で連続

※　極限を用いて定義される関数を「極限関数」といいます。
以下の問題において，必要ならば次の性質を用いて，答えなさい。
(*1)　 x > 1 のとき xn = ∞

(*2)　 x = 1 のとき xn = 1

(*3)　 -1 < x < 1 のとき xn = 0

(*4)　 x =−1 のとき xn は　存在しない(±1を振動)

(*5)　 x <−1 のとき xn は　存在しない(±∞を振動)

(2)
f(x) = で定義される関数について

x = 1 における連続性を調べなさい。
(答案)
1) x > 1 のとき xn = ∞ だから

　f(x) = = = 1

　よって f(x) = 1（定数値をとる関数の極限値はその定数値）

2) −1 < x < 1 のとき xn = 0 だから

　f(x) = =−1

　よって f(x) =−1（定数値をとる関数の極限値はその定数値）
1)2)より，極限値 f(x) が存在しないから，x = 1 のとき不連続

■問題 (各5分程度が目安)

問題	答案　(なお，「 ∞ 」という記号は「mugen」で漢字変換すれば出るようです。)

(1)
実数 x に対して， x を超えない最大の整数を[x] で表わす．このとき，

=□　　 =□

(日本大－文理学部 (2000年) 入試問題の引用)

(2)

f(x) =

5− (x ≠ 0 のとき)
1(x = 0 のとき)

の連続性を調べなさい。

(3)
f(x) = で定義される関数について

x = 1 における連続性を調べなさい。

(4)
f(x) = で定義される関数について

x =−1 における連続性を調べなさい。

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