■行列の相等,和,差,実数倍

[解説]
●行列の相等
・2つの行列A,Bの型が一致し,かつ,対応する成分が各々等しいとき,AとBは等しいといい,A=Bと書きます。

=←→

のとき

x = 1, y = 1, z = 8
等しくない例
A=,B=
型が一致しない。

A=,B=
(1,2)成分,(2,1)成分が一致しない.

等しい例
A=,B=
[問題]
=のとき,
x=,y=
[解説]
●行列の和
・2つの行列の型が一致するとき,行列の和を次のように定義します。
 2×2行列での例
A=,B=のとき
A+B=
 すなわち,
+=
●行列の差
・2つの行列の型が一致するとき,行列の差を次のように定義します。
 2×2行列での例
A=,B=のとき
A-B=
 すなわち,
-=
●行列の実数倍
・行列のt倍は,各成分をt倍した行列とします。
 2×2行列での例
A=のとき,tA=
すなわち,
=
3個以上の行列の和は,2つずつの和の繰り返し適用で定義します。
(A+B)+C または A+(B+C)
((A+B)+C)+D 、A+(B+(C+D))・・・など

ここで,行列の和については

結合法則(A+B)+C=A+(B+C)
が成立するので,
単に,A+B+Cと書くことができます。
((A+B)+Cという意味に理解されても,A+(B+C)という意味に理解されても,同じだから,どちらでもよい。)
[問題]


次のうち,行列との和が定義できるものを選びなさい。

 次の計算をしなさい。
[ア]=,[イ]=,[ウ]=,[エ]=
[オ]=,[カ]=,[キ]=,[ク]=

[ケ]=,[コ]=,[サ]=,[シ]=
[ス]=,[セ]=,[ソ]=,[タ]=
A=,B=のとき,
2A−B=
[チ]=,[ツ]=,[テ]=,[ト]=

●零行列
成分がすべて0である行列を零行列といいます.行列の型が分かっているとき,零行列は単に0で表します。
1×2型の零行列 
2×2型の零行列 
2×3型の零行列 

型が同じとき,A+0=0+A=Aが成立します.
例えば,2×2行列では


が成り立つことは明らかでしょう

任意の行列Aについて0A=0,任意の実数tについてt0=0が成立します.
例えば,2×2行列では


が成り立つことは明らかでしょう

●行列の和の性質
 A+B=B+A・・・交換法則が成立します。
 (A+B)+C=A+(B+C)・・・結合法則が成立します。
●行列の実数倍の性質
 t(kA)=(tk)A
 (t+k)A=tA+kA
 t(A+B)=tA+tB

※ 行列で割ることはできませんが,行列の和,差、実数倍,展開などが自由にできるので,次のような行列の方程式も解けます。



また,次のような連立方程式でも
{ (1)+(2) }÷2や{ (1)−(2) }÷2のような変形は,行列の和,差、実数倍でできるので,普通の連立方程式と同じように解くことができます.




行列で割ることはできません.
例えば,左辺が2つの行列の積 になっているとき,

とすることはできません.
詳しくは,行列の積を学ぶと分かりますが,一般に行列の積はが等しいとは限らないため,行列の割り算が定義できないからです.
[問題]
A=,B=
3(X-A)=B+X のとき,X=
[ナ]=,[ニ]=,[ヌ]=,[ネ]=
X+Y=,X-Y=のとき
X=,Y=
[ノ]=,[ハ]=,[ヒ]=,[フ]=
[ヘ]=,[ホ]=,[マ]=,[ミ]=

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