行列の相等，和．差，実数倍

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※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== 行列の相等，和，差，実数倍 ==
●行列の相等

２つの行列Ａ，Ｂの型が一致し，かつ，対応する成分が各々等しいとき，ＡとＢは等しいといい，Ａ＝Ｂと書きます。

=←→

【例】

＝

のとき x = 1, y = 1, z = 8
【等しくない例】

Ａ＝

，Ｂ＝

のとき，型が一致しないからＡ≠Ｂ

Ａ＝，Ｂ＝
のとき，型は一致するが，(1,2)成分，(2,1)成分が一致しないからＡ≠Ｂ

【等しい例】

Ａ＝

，Ｂ＝

のとき，Ａ＝Ｂ

【問題１】
次の空欄を埋めてください．

対応する成分を比較すると，x=3, y=4 になります．

●行列の和

２つの行列の型が一致するとき，行列の和を次のように定義します。
　２×２行列での例Ａ＝

，Ｂ＝

のとき
Ａ＋Ｂ=

　すなわち，

【問題２】
次のうち，行列

との和が定義できるものを選びなさい。

（和が定義できるものをクリック）

，

解答

行列

は３×２型（３行２列）なので，これと和が定義できるのは同じ型の行列

です．

【問題３】

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ になります

●３個以上の行列の和
３個の行列の和は，２つずつの和の繰り返し適用で定義します。

まずＡ+Ｂを求めて，その結果にＣを足す場合
(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ …(1)
まずＢ＋Ｃを求めて，その結果をＡに足す場合
Ａ＋(Ｂ＋Ｃ) …(2)
と書きます．

ただし，行列の和については
結合法則 (Ａ＋Ｂ)＋Ｃ=Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)
が成立するので，(Ａ＋Ｂ)＋Ｃという意味に理解されても，
Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)という意味に理解されても，同じになります．
そこで，単に
Ａ＋Ｂ＋Ｃ
の形に省略して書くことが許されます．･･･(1)のように解釈されても(2)のように解釈されても等しいから

４個の行列の和：((Ａ＋Ｂ)＋Ｃ)+Ｄ，Ａ+(Ｂ+(Ｃ＋Ｄ))についても同様にＡ＋Ｂ＋Ｃ+Ｄと書くことができます．

●行列の差

２つの行列の型が一致するとき，行列の差を次のように定義します。
　２×２行列での例Ａ＝

，Ｂ＝

のとき
Ａ-Ｂ=

　すなわち，

【問題４】
次の計算をしなさい．

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3-2 & 1-(-1) \\ 2-(-1) & -4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -6 \end{pmatrix}$ になります

●行列の実数倍

行列のｔ倍は，各成分をｔ倍した行列とします。
　２×２行列での例Ａ＝

のとき，ｔＡ=

すなわち，ｔ

【問題５】
次の計算をしなさい．
(1)

$3\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 6 & -12 \end{pmatrix}$ になります

(2)

$2\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & -6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -12 \end{pmatrix}$ になります

(3)

$2\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -7 & -1 \end{pmatrix}$ になります

●零行列

成分がすべて０である行列を零行列といいます．行列の型が分かっているとき，零行列は単に0で表します。

１×２型の零行列

２×２型の零行列

２×３型の零行列

型が同じとき，A+0=0+A=Aが成立します．

例えば，２×２行列では
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
が成り立つことは明らかでしょう

任意の行列Aについて0A=0，任意の実数tについてt0=0が成立します．

例えば，２×２行列では
$0\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
$t\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
が成り立つことは明らかでしょう

●行列の和の性質
　Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ・・・交換法則が成立します。
　（Ａ+Ｂ）+Ｃ=Ａ+（Ｂ+Ｃ）・・・結合法則が成立します。
●行列の実数倍の性質
　ｔ(ｋＡ）＝(ｔｋ)Ａ
　(ｔ+ｋ)Ａ＝ｔＡ+ｋＡ
　t(Ａ＋Ｂ)＝ｔＡ＋ｔＢ

※　行列で割ることはできませんが，行列の和，差、実数倍，展開などが自由にできるので，次のような行列の方程式も解けます。

$2X+ 4A=6B\rightarrow X=-2A+ 3B$

また，次のような連立方程式でも
{ (1)+(2) }÷2や{ (1)−(2) }÷2のような変形は，行列の和，差、実数倍でできるので，普通の連立方程式と同じように解くことができます．

$X+ Y=A$
$X- Y=B$
$\rightarrow X=\frac{A+ B}{2}, Y=\frac{A-B}{2}$

※行列で割ることはできません．
例えば，左辺が２つの行列の積　 $AX=B$ になっているとき，
$X=\frac{B}{A}$
とすることはできません．
詳しくは，行列の積を学ぶと分かりますが，一般に行列の積は $AX$ と $XA$ が等しいとは限らないため，行列の割り算が定義できないからです．

【問題6】
(1)

$3X-3A=B+ X$
$2X=3A+ B$
$X=\frac{3A+ B}{2}$ $=\frac{\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -9 & -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}{2}$ $=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}$ になります

(2)

$X=\frac{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}{2}$ $=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

$Y=\frac{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}{2}$ $=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
になります

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