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== 行列の相等,和,差,実数倍 ==

●行列の相等
2つの行列A,Bの型が一致し,かつ,対応する成分が各々等しいとき,AとBは等しいといい,A=Bと書きます。

=←→

【例】
のとき
x = 1, y = 1, z = 8

【等しくない例】
A=,B=
のとき,型が一致しないからA≠B

A=,B=
のとき,型は一致するが,(1,2)成分,(2,1)成分が一致しないからA≠B

【等しい例】
A=,B=
のとき,A=B
【問題1】
次の空欄を埋めてください.
=のとき,
x=,y=

●行列の和
2つの行列の型が一致するとき,行列の和を次のように定義します。
 2×2行列での例
A=,B=のとき
A+B=
 すなわち,
+=
【問題2】
次のうち,行列との和が定義できるものを選びなさい。
(和が定義できるものをクリック)


【問題3】
 次の計算をしなさい。
[ア]=,[イ]=,[ウ]=,[エ]=

●3個以上の行列の和
3個の行列の和は,2つずつの和の繰り返し適用で定義します。
まずA+Bを求めて,その結果にCを足す場合
(A+B)+C …(1)
まずB+Cを求めて,その結果をAに足す場合
A+(B+C) …(2)
と書きます.
ただし,行列の和については
結合法則 (A+B)+C=A+(B+C)
が成立するので,(A+B)+Cという意味に理解されても,
A+(B+C)という意味に理解されても,同じになります.
そこで,単に
A+B+C
の形に省略して書くことが許されます.・・・(1)のように解釈されても(2)のように解釈されても等しいから

4個の行列の和:((A+B)+C)+D,A+(B+(C+D))についても同様にA+B+C+Dと書くことができます.


●行列の差
2つの行列の型が一致するとき,行列の差を次のように定義します。
 2×2行列での例
A=,B=のとき
A-B=
 すなわち,
-=
【問題4】
次の計算をしなさい.
[オ]=,[カ]=,[キ]=,[ク]=


●行列の実数倍
行列のt倍は,各成分をt倍した行列とします。
 2×2行列での例
A=のとき,tA=
すなわち,
=
【問題5】
次の計算をしなさい.
(1)
[ケ]=,[コ]=,[サ]=,[シ]=
(2)
[ス]=,[セ]=,[ソ]=,[タ]=
(3)
A=,B=のとき,
2A−B=
[チ]=,[ツ]=,[テ]=,[ト]=


●零行列
成分がすべて0である行列を零行列といいます.行列の型が分かっているとき,零行列は単に0で表します。
1×2型の零行列 
2×2型の零行列 
2×3型の零行列 

型が同じとき,A+0=0+A=Aが成立します.
例えば,2×2行列では


が成り立つことは明らかでしょう

任意の行列Aについて0A=0,任意の実数tについてt0=0が成立します.
例えば,2×2行列では


が成り立つことは明らかでしょう

●行列の和の性質
 A+B=B+A・・・交換法則が成立します。
 (A+B)+C=A+(B+C)・・・結合法則が成立します。
●行列の実数倍の性質
 t(kA)=(tk)A
 (t+k)A=tA+kA
 t(A+B)=tA+tB

※ 行列で割ることはできませんが,行列の和,差、実数倍,展開などが自由にできるので,次のような行列の方程式も解けます。



また,次のような連立方程式でも
{ (1)+(2) }÷2や{ (1)−(2) }÷2のような変形は,行列の和,差、実数倍でできるので,普通の連立方程式と同じように解くことができます.




行列で割ることはできません.
例えば,左辺が2つの行列の積 になっているとき,

とすることはできません.
詳しくは,行列の積を学ぶと分かりますが,一般に行列の積はが等しいとは限らないため,行列の割り算が定義できないからです.
【問題6】
(1)
A=B=
3(X−A)=B+Xのとき,X=
[ナ]=,[ニ]=,[ヌ]=,[ネ]=
(2)
X+Y=X−Y=のとき
X=Y=
[ノ]=,[ハ]=,[ヒ]=,[フ]=

[ヘ]=,[ホ]=,[マ]=,[ミ]=

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