■零因子携帯版

[解説]
● 数については,
ab=0ならば,a=0またはb=0です。
(対偶で言えば,a≠0かつb≠0ならばab≠0です。)
 
 
 
 
 

● 行列については,
AB=0であっても,A=0またはB=0 とは限りません
(対偶で言えば,A≠0かつB≠0でもAB=0となることがあります。)

※ 教科書では,「A≠0かつB≠0でAB=0となる行列A,Bを零因子という」とされています。教科書としては,これ以上深入りしにくいと思いますが,授業で解説するには,逆に踏み込んだ方が(少なくともこのページの作者には)概念的に分かりやすい:
A≠0かつB≠0でAB=0となるときAをBの左零因子,BをAの右零因子という。

A=,B=のとき,
A≠0かつB≠0であるが,
AB==
になります。
ただし,
BA==
は零行列にはなりません。
● 2次以上の方程式を因数分解で解くことができるのは,左の性質によります。
ab=0ならば,a=0またはb=0
の性質を用いて,
(x−a)(x−b)=0
ならば
x=a または x=b
が言えます。
● 行列については零因子が存在するため,次のような変形はできません。
(X−A)(X−B)=0 → x=AまたはX=B
2=0 → X=0
--
零因子の具体例
[解説]
A=,B=のとき,
AB=
だから,AB=0となるためには,
ap+br=0・・(1),aq+bs=0・・(2)
cp+dr=0・・(3),cq+ds=0・・(4)
(1)はベクトル(a,b)とベクトル(p,r)が垂直であればよく,
(2)はベクトル(a,b)とベクトル(q,s)が垂直であればよい。
したがって,まず(a,b)に対する関係から(p,r)と(q,s)は平行です。
次に,
(1)はベクトル(a,b)とベクトル(p,r)が垂直であればよく,
(3)はベクトル(c,d)とベクトル(p,r)が垂直であればよい。
したがって,(p,r)に対する関係から(a,b)と(c,d)は平行です。

(a,b),(c,d)の傾きをkとすると,これらは(a,ka),(c,kc)とおくことができ,これに垂直な(p,r),(q,s)の傾きは-1/kですが,右下図のようにx軸に垂直なものもありえますので,(p,r),(q,s)を(−kr,r),(−ks,s)とおけば,
(a,ka)//(c,kc)⊥(−kr,r)//(−ks,s)となります。


[問題]
1 行列の右零因子を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)
=

 
[ア]=,[イ]=,[ウ]=,[エ]=
2 行列の左零因子を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)
=
[オ]=,[カ]=,[キ]=,[ク]=
 (少し考える問題:上の解説を参考に考えなさい。)
行列A=が行列B=に対して左零因子かつ右零因子になっているような例を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)
(この場合,行列Bも行列Aに対して,右零因子かつ左零因子となります。)
=
かつ
=
[ケ]=,[コ]=,[サ]=,[シ]=
[ス]=,[セ]=,[ソ]=,[タ]=
●==メニューに戻る