PC用は別頁

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【解説】
【二次方程式の解の公式 I 】
 2次方程式 ax2+bx+c=0 ( a0 )の解は

x=
です.

(証明):見るだけでよい・・・全部理解するには高校の数学I程度の文字式変形能力を要します
…(1)のとき
≪変形の方針≫
…(2)
の形になれば
…(3)
のように変形できて
…(4)
のように解けるから,(1)→(2)→(3)→(4)の形に変形することを目指す.



…(2)ができた!

…(3)ができた!
…(4)[完成]!

※2次方程式を「解の公式を使って解く」とは,上記の証明を1回ずつ行うのではなく,(1)から入ったら直ちに結果の(4)から出てくるという使い方を言います.

それぞれの数値係数に対して上記の変形を行うのは大変なので,上記の変形に身代わり地蔵として代表で苦労してもらって,他の人は楽な結果だけを使うということで,別の言い方をすれば労力・時間に関して「エコ」な方法でやるということです.

※ これを使えばどんな2次方程式でも解けます.通常 a , b , c として実数を考えますが, a , b , c が複素数の場合でもこの公式で解けます.
※ 根号内:判別式 D=b2−4ac が負の場合は,虚数単位 i を用いて表わします.
= i
= i=2i
[例]
(1) 2x2+5x+1=0 を解くには
a=2 , b=5 , c=1 を解の公式に代入します.

x==

(2) x2−3x+5=0 を解くには
a=1 , b=−3 , c=5 を解の公式に代入します.

x===

(3) 2x2−7x+3=0 を解くには
a=2 , b=−7 , c=3 を解の公式に代入します.

x===

※上の(1)(2)の例のように,分けてもそれ以上簡単にならないものは分けなくてもよいが,この例(3)のように分ければ簡単になるものは分けなければならない.
x=3,


【二次方程式の解の公式 II 】
 2次方程式 ax2+2b’x+c=0 ( a0 )の解は

x=
です.

(証明)
解の公式 I より

x= =

  =

となって,必ず2で約分できるので,約分した結果を公式とします.(公式Iよりも小さい数字で計算できるので,間違いにくくなります)
※ b’ として,x の係数の半分の数字を使っていることに注意.(2b’b
[例]
(1) 3x2+4x−5=0 を解くには
a=3 , b'=2 , c=−5を解の公式に代入します.

x==

(2) 5x2−6x+3=0 を解くには
a=5 , b'=−3 , c=3 を解の公式に代入します.

x===


解を求めるプログラム
○ 教科書や授業でよく使われる形
 ↓正負の整数を入力して[解を求める]
()x2+()x+()=0

[ 解を求める ] [消去]
[↑ヘルプ] [問題をする↓]


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■[個別の頁からの質問に対する回答][二次方程式の解の公式について/17.5.30]
通信制高校で学んでいる76歳の男性(老人)です。 60年近く学問と遠ざかっていて数学Uは難解ですが、解の公式の解説を見てよく理解でき又、 虚数単位の計算もあり、助かりました。 ありがとうございました。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][二次方程式の解の公式について/16.12.21]
解を求めるプログラムで分数や小数の2次方程式が解けない
=>[作者]:連絡ありがとう.正負の整数を入力して[解を求める]と書いてあるのだから,正負の整数になるようにするのです.
 読者がカチンと来るか,当然だと思うかは分かりませんが,その頁は高校生向けの頁で,分数や小数係数なら分母を払うとか10倍,100倍,...すれば簡単に整数係数になります.
【分数の例1】
の場合
両辺に6を掛ける

【分数の例2】
の場合
両辺に12を掛ける


【小数の例1】
の場合
両辺に10を掛ける

【小数の例2】
の場合
両辺に100を掛ける
■[個別の頁からの質問に対する回答][二次方程式の解の公式について/16.11.9]
2次方程式(1)について教科書では b二乗ー4ac≧0 の時とありましたがどういう意味かわかりません
=>[作者]:連絡ありがとう.高校の数学Uの教科書では,複素数を習ってから2次方程式の解の公式を習うので,解の公式についてb2−4ac≧0という制限は必要なく,b2−4ac<0の場合でも成り立ちます.だから,数学Uの教科書には解の公式がb2−4ac≧0の場合だけ成り立つとは書いてありません.
 実際には,解の公式の説明が終わってから,判別式D=b2−4acの説明をするときに,
(1) D=b2−4ac>0のとき異なる2つの実数解を持つ
(2) D=b2−4ac=0のとき異なる実数の重解を持つ
(3) D=b2−4ac<0のとき異なる2つの虚数解を持つ
と書いてあるはずです.さらに,これらのうちで(1)でも(2)でも実数解になるからこれらをまとめて書くとb2−4ac≧0となります.