← PC用は別頁

← PC用は別頁
【解説】
【二次方程式の解の公式 I 】
　２次方程式 ax2+bx+c=0　( a≠0 )の解は

x=
です．

（証明）：見るだけでよい･･･全部理解するには高校の数学Ｉ程度の文字式変形能力を要します
…(1)のとき
≪変形の方針≫
…(2)
の形になれば
…(3)
のように変形できて
…(4)
のように解けるから，(1)→(2)→(3)→(4)の形に変形することを目指す．



…(2)ができた！

…(3)ができた！
…(4)［完成］！

※２次方程式を「解の公式を使って解く」とは，上記の証明を１回ずつ行うのではなく，(1)から入ったら直ちに結果の(4)から出てくるという使い方を言います．

※それぞれの数値係数に対して上記の変形を行うのは大変なので，上記の変形に身代わり地蔵として代表で苦労してもらって，他の人は楽な結果だけを使うということで，別の言い方をすれば労力・時間に関して「エコ」な方法でやるということです．

※　これを使えばどんな２次方程式でも解けます．通常 a , b , c として実数を考えますが， a , b , c が複素数の場合でもこの公式で解けます．
※　根号内：判別式 D=b2−4ac が負の場合は，虚数単位 i を用いて表わします．
例
= i
= i=2i
［例］
(1)　2x2+5x+1=0 を解くには
a=2 , b=5 , c=1　を解の公式に代入します．

x==

(2)　x2−3x+5=0 を解くには
a=1 , b=−3 , c=5　を解の公式に代入します．

x===

(3)　2x2−7x+3=0 を解くには
a=2 , b=−7 , c=3　を解の公式に代入します．

x===

※上の(1)(2)の例のように,分けてもそれ以上簡単にならないものは分けなくてもよいが，この例(3)のように分ければ簡単になるものは分けなければならない．
x=3,

【二次方程式の解の公式 II 】
　２次方程式 ax2+2b’x+c=0　( a≠0 )の解は

x=
です．

（証明）
解の公式 I より

x= =

　　=

となって，必ず２で約分できるので，約分した結果を公式とします．（公式Ｉよりも小さい数字で計算できるので，間違いにくくなります）
※　b’ として，x の係数の半分の数字を使っていることに注意．（2b’ が b）
［例］
(1)　3x2+4x−5=0 を解くには
a=3 , b'=2 , c=−5を解の公式に代入します．

x==

(2)　5x2−6x+3=0 を解くには
a=5 , b'=−3 , c=3 を解の公式に代入します．

x===


解を求めるプログラム
○　教科書や授業でよく使われる形
　↓正負の整数を入力して［解を求める］
()x2+()x+()=0

[ 解を求める ]　[消去]
[↑ヘルプ] [問題をする↓]


...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／17.5.30］
通信制高校で学んでいる７６歳の男性（老人）です。 ６０年近く学問と遠ざかっていて数学Ⅱは難解ですが、解の公式の解説を見てよく理解でき又、 虚数単位の計算もあり、助かりました。 ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.12.21］
解を求めるプログラムで分数や小数の2次方程式が解けない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正負の整数を入力して［解を求める］と書いてあるのだから，正負の整数になるようにするのです．
　読者がカチンと来るか，当然だと思うかは分かりませんが，その頁は高校生向けの頁で，分数や小数係数なら分母を払うとか10倍，100倍，...すれば簡単に整数係数になります．
【分数の例1】
の場合
両辺に6を掛ける

【分数の例2】
の場合
両辺に12を掛ける


【小数の例1】
の場合
両辺に10を掛ける

【小数の例2】
の場合
両辺に100を掛ける
■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／16.11.9］
２次方程式（１）について教科書では ｂ二乗ー４ac≧０　の時とありましたがどういう意味かわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校の数学Ⅱの教科書では，複素数を習ってから２次方程式の解の公式を習うので，解の公式についてb2−4ac≧0という制限は必要なく，b2−4ac<0の場合でも成り立ちます．だから，数学Ⅱの教科書には解の公式がb2−4ac≧0の場合だけ成り立つとは書いてありません．
　実際には，解の公式の説明が終わってから，判別式D=b2−4acの説明をするときに，
(1)　D=b2−4ac>0のとき異なる２つの実数解を持つ
(2)　D=b2−4ac=0のとき異なる実数の重解を持つ
(3)　D=b2−4ac<0のとき異なる２つの虚数解を持つ
と書いてあるはずです．さらに，これらのうちで(1)でも(2)でも実数解になるからこれらをまとめて書くとb2−4ac≧0となります．