■　行列のｎ乗
◇解説◇
　正方行列（２×２行列，３×３行列，･･･）については行列のｎ乗が定義できますが，一般にはその成分計算は大変です．ここでは，２×２行列についてｎ乗が計算できる場合を取り扱います．
(1)　
与えられた行列 A に対して，
P-1AP =
となる行列 P が見つかるときは，

P-1AnP = 　を利用して，
An を求めることができます．

PAP-1 = 　のときも同様です．　･･･　[ 説明 ]
(2)　
与えられた行列 A が，原点の周りの回転を表わす行列


に等しいときは，その n 乗は角度 θ を n 倍したものだから


さらに，回転･拡大となっているときも同様にして

A = r ならば

An = rn
(3)　
A2，A3， A4 程度の簡単な計算をしてみて， 0, kE，kA などが登場すれば，その規則性を考えて An が求められます． 		(4)
　ケイリー･ハミルトンの定理を変形すると， A2 = (a + d)A -(ad - bc)E となり，この関係を繰り返し適用すると，次数を下げることができます．
例　A2 = A + E　ならば　A3 = A2 + A = 2A + E

　もっと一般的に，整式の割り算を用いて，次数を下げてから値を代入することができますが，高校では行列の割り算を取り扱わないので，答案にはかけ算で表わした結果のみを残す方がよいでしょう．

例　A = のとき，A2 - A - E = 0 を利用すると

A4 - 2A3 + A2 + A = (A2 - A - E)(A2 - A + E) + A + E = A + E

= 　

■例題
(1)
A = ，S = とするとき S-1AS = [ ウ ] であり，これを用いて行列 An (n = 1, 2, 3, …) を求めると An = [ エ ] である．

( 福岡大−理･工(2005年)入試問題の一部引用 )

(答案)
S-1 = だから

S-1AS =

= = =


(S-1AS)n = S-1AnS =

An= ×

= = 		(2)(3)

行列 A = について

A2 = [ ア ], A3 = [ イ ] である．また，
E + A + A2 + … + An = 0 となる 100 以下の自然数 n のうちで最小のものは[ ウ ]であり，最大のものは[ エ ]である．ただし，

E は単位行列，0 = とする．

( 関西学院大−理工(2005年)入試問題の一部引用 )

(答案)
A = だから


A2 = =


A3 = =

E + A + A2 = 0　…　最小値2
E + A + A2+ … + A98 = 0　…　最大値98

■問題 (各5分程度が目安)
問題 答案
１．
３つの行列 A, P, B を次のようにおく．

A = ，P =
B = P-1AP_
 このとき，次の問いに答よ．
(1) P の逆行列 P-1 および B を求めよ．
(2) Bn, An (n = 1, 2, 3, …) を求めよ．

(岩手大−工学部 (2000年) 入試問題の一部引用)
1 2 3
(1) 　 P-1 =

B = P-1AP = =

(2) 　Bn =

(P-1AP)n = 　だから　 P-1AnP =

An = = 　

２．
ac ≠ b2 とし，行列

A = , B =

P = と P の逆行列 P-1 を考える．
(1) P-1AP = B を満たす a, b, c のうちで，正の整数であって最小なものを求めよ．
(2) 正の整数 n に対して，Bn と An を求めよ．

(室蘭工大 (2000年後期) 入試問題の引用)
1 2
(1) a = 3, b = c =

(2) Bn =

=

３．
A = のとき，A20 を求めなさい．
1 2

A20 = =


４．
A = のとき，A100 を求めなさい．
1 2



したがって A100 = =

５．
A = のとき，
A4 - 29A2 + A + 3E を求めなさい．
1 2
A4 - 29A2 + A + 3E
=
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