PC用は別頁→ 印刷用PDF版は別頁

■独立な試行の確率,反復試行の確率≪解説≫
【独立な試行の確率】《要点》
A , B が独立であるとき,A B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる.

【例1】 さいころを2回投げて1回目に3以下,2回目に4以下の目が出る確率
図1
  1 2 3 4 5 6
1    
2    
3    
4            
5            
6            

式1

式2
 ここまでに習った考え方で,図1のように1回目,2回目の起こり得るすべての場合を N=36 と考えるときは,
 式1のように計算して,
P = = とする.

 しかし,この問題では1回目に出る目は2回目に出る目に影響していないので,
 式2のように1回目に3以下となる確率( )と2回目に4以下となる確率( )の積でも求めることができる.
⇒ このように,A , B が独立であるとき,A B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる.

例題
 さいころを2回投げるとき2回とも偶数の目が出る確率
 1回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は ,2回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は でこれらは独立だから

p=×=

## 独立でない場合 ##
 赤玉3個,白玉2個が入っている袋から,玉を1つずつ取り出し,取り出した玉は元に戻さない場合に,赤玉が2回出る確率・・・(非復元抽出という)
図2
 取り出した玉を元に戻さない場合は,1回目に起こったことは2回目の出方に影響する:

(ア) 1回目に赤玉が出たとき,袋の中は赤玉2個,白玉2個の計4個になるから,
 2回目に赤が出る確率は

(イ) 1回目に白玉が出たとき,袋の中は赤玉3個,白玉1個の計4個になるから,
 2回目に赤が出る確率は

⇒ このように取り出した玉を元に戻さないときは,1回目に A が起こることと2回目に B が起こることは独立ではない.

⇒ 取り出した玉を元に戻すときは,「独立な試行の確率」が適用できるが,取り出した玉を元に戻さないときは「独立な試行の確率」が適用できない.
※ この問題を今までに習った方法で解くには,
1回目の玉の出方は5通り,そのそれぞれについて2回目の玉の出方は4通り → N=20 通り
 1回目に赤が出るのは3通り,その各々について2回目に赤が出るのは2通り → n=6 通り
p = =
とする.

※ この問題で,1回目に取り出した玉を元に戻すとき(復元抽出という.)は,1回目の玉と2回目の玉はお互いに影響されず,赤赤と出る確率は
p = × =

で求められる.


【反復試行の確率】《要点》
1回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を n 回繰り返してAr 回起こる確率は
nCr pr qn−r
ただし,q= 1−p
(解説)
○ 5回のうち A が3回起こる確率で調べると,
 事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を 5 回繰り返して A が 3 回起こる確率は,次の各場合を足せばよい. 
(1) pppqq=p3q2
(2) ppqpq=p3q2
(3) ppqqp=p3q2
(4) pqppq=p3q2
(5) pqpqp=p3q2
(6) pqqpp=p3q2
(7) qpppq=p3q2
(8) qppqp=p3q2
(9) qpqpp=p3q2
(10) qqppp=p3q2
⇒上の各式を足したとき,p3q210回登場するから,
回数が係数になって,和は 10 p3q2 になる.
(1) AAA となる場合 ⇒ pppqq=p3q2 だけでなく
A が起こる順序だけが異なり,A が合計3回となっているものはすべて当てはまる.このようなものは上のように(1)〜(10)の10通りあるから,その確率は 10 p3q2 になる.

○ この係数10は次のようにして求められる:

ア)「同じものがあるときの順列」で考える場合
p が3個,q(=1−p) が2個あるとき,これらを並べ替えてできる順列の総数は 通りあるから,

p3q2 回登場し,その和は, p3q2

ここで,=5C3 と書けるから,5C3p3q2
イ)「組合せ」で考える場合
p が3個,q(=1−p) が2個あるとき,これらを並べ替えてできる順列は並び方の番号札@ABCDのうち p の行き先の番号札3個(組合せ)で決まる.
 たとえば, p の行き先の番号札が@BCのときは pqppq になる.p の行き先の番号札が@CDのときは pqqpp になる,など.
 このように考えれば,p 3個,q(=1−p) 2個を並べ替えてできる順列の総数は,5C3 通りあるから,確率の合計は 5C3p3q2 になる.
○ 一般に
 1回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を n 回繰り返してAr 回起こる確率は,pr qn−r となる場合が,nCr 通りあることから,それらの合計は
nCr pr qn−r
で求められる.

例題
 硬貨を5回投げるとき表がちょうど3回出る確率
 1回の試行で表が出る確率は p = ,表が出ない確率は q=1−p = だから

5回のうち表がちょうど3回出る確率は
5C3()3()2=10· =
例題
 さいころを6回投げるとき1の目がちょうど2回出る確率
 1回の試行で1の目が出る確率は p = ,1の目
が出ない確率は q=1−p = だから

6回のうち1の目がちょうど2回出る確率は
6C2()2()4=15· =



≪問題1.1≫
さいころを2回投げるとき,1回目は3以下,2回目は3以上の目が出る確率を求めよ.

0 1 2




≪問題1.2≫
2人の生徒A,Bがある試験に合格する確率が各々
のとき,Aが合格,Bが不合格となる確率を求めよ.

0 1 2




≪問題1.3≫
1と書かれた玉が3個,2と書かれた玉が2個,3と書かれた玉が1個,計6個が入っている袋から玉を3回取り出して番号を調べる.取り出した玉はその都度元に戻すものとして,1,2,3の順に玉が出る確率を求めよ.

0 1 2




≪問題1.4≫
A,B,Cの3人が的に矢を当てるゲームを行う.
Aが当たる確率は,Bが当たる確率は,Cが当たる確率はとするとき,この3人が1回ずつゲームをして2人以上当たる確率を求めよ.

0 1 2







≪問題2.1≫
硬貨を5枚投げるとき,4枚以上表が出る確率を求めよ.

0 1 2




≪問題2.2≫
さいころを4回に投げるとき,少なくとも1回6の目が出る確率を求めよ.

0 1 2




≪問題2.3≫
硬貨を投げて,表が出れば点 Px 軸の正の方向に2進み,裏が出れば負の方向に1進むものとする.初め原点にあった点 P が硬貨を5回投げた後に x=1 の位置にある確率を求めよ.

0 1 2




≪問題2.4≫
(ややむずかしい)
 硬貨を投げて,表が出れば点 Px 軸の正の方向に1進み,裏が出れば負の方向に1進むものとする.点 P が初め原点にあったとき,硬貨を6回投げた後にどの位置にある確率が最も高いか.

0 1 2




≪問題2.5≫
野球でAチームとBチームが試合を行い,どちらかのチームが先に4勝するまで試合を行うとき,第6試合が行われる確率を求めよ.
 ただし,両チームの実力は等しく,引き分けはないものとする.

0 1 2





(携帯版)...メニューに戻る

...メニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][独立な試行の確率,反復試行の確率について/16.10.10]
ありがとうございます わかりました!
=>[作者]:連絡ありがとう.