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== 2円の交点を通る円・直線の方程式 ==
【内容】
 この頁では,次のような問題の解き方を扱う.

(1) 2円
________(x+3)2+(y−3)2=9 …(1)
________x2+y2=9 …(2)
の2つの交点と点 (0 , 0) を通る円の方程式を求めよ.

(2) x2+y2−9+k(x2+y2−2x−6y−10)=0
は,定数 k の値にかかわらず定点を通ることを示し,定点の座標を求めよ.
【要点】
○ 2つの円
________x2+y2+ax+by+c=0 …(1)
________x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)
が2点で交わるとき,方程式
________x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0
は,定数 k の値にかかわらず2交点を通る円を表す.
○ ただし,k=−1 のときは,2交点を通る直線を表す.
○ k=0 のときは,円(1)を表す.円(2)はこの形式では表せない.

○ 方程式
h(x2+y2+ax+by+c)+x2+y2+dx+ey+f=0 も同様
○ h=0 のときは,円(2)を表す.円(1)はこの形式では表せない.


[解説]
○ 2つの円
________x2+y2+ax+by+c=0 …(1)
________x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)
が2点で交わるとき,方程式
________x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0…(A)
は,定数 k の値にかかわらず2交点を通る円を表す.

この定理を2段階に分けて解説する.

(I) まず, 3x2+3y2−2x+4y=0 のような方程式は,
両辺を 3 で割ると
________x2+y2x+y=0

________(x−)2+(y+)2=

のように変形できるので「円を表す」.
○ 一般に,Ax2+Ay2Bx+Cy+D=0 のように x2y2 の係数が等しい方程式は,両辺を A で割ると, x2y2 の係数が両方とも 1 になるので,(平方完成したときに右辺が正の数になる限り)「円を表す」.
○ したがって,x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0 は,
________(k+1)x2+(k+1)y2+ … =0
と変形できるから,k+10 になる場合を除けば「円を表す」.(*1)

(II) 次に,2つの円
____x2+y2+ax+by+c=0 …(1)
____x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)
の交点の座標を各々 (p ,q) , (r , s) とおくと,これらは(1)(2)を満たすから
___p2+q2+ap+bq+c=0
___p2+q2+dp+eq+f=0
が成り立つ.
したがって,p2+q2+ap+bq+c+k(p2+q2+dp+eq+f)=0 …(3)
が成り立つ.(0+0k=0 は成り立つ.)
 同様にして, (r , s) についても
r2+s2+ar+bs+c+k(r2+s2+dr+es+f)=0 …(4)
が成り立つ.
 (3)(4)は,x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0 が「2交点を通る」ことを示している.

 以上の(I),(II) の内容を続けて言うと,「円を表す」「2交点を通る」となり,「2交点を通る円を表す
[補足説明]
(*1)
○ 元の2円(1)(2)が共有点を持たない場合や1点で接する場合でも方程式(A)は円になるが,「2交点と・・・を通る円の方程式を求めよ」という問題は作れないから,「2交点で交わる場合しかこの問題は出ない」と考えてよい.

○ 実際に (x−p)2+(y−q)2=RR>0 )の形になることを示さなくても,x2+y2+…=0 のグラフが異なる2点 (p ,q) , (r , s) を通っているのなら,虚円でも点でもなく円であると断定してよい.

○ k=−1 のときは,方程式は 0x2+0y2+a’x+b’y+c’=0
すなわち a’x+b’y+c’=0 の形になり,これが異なる2点 (p ,q) , (r , s) を通っているのなら,それは2交点を通る直線を表す.
(無限の彼方に中心があって半径が無限大の円を考えるとよい.)

(以下の説明はややハイレベルなので,読まなくてもよい)
○ 左図の動画において x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0 が通過する場所についての目安
1) たとえば x2+y2<9 すなわち x2+y2−9<0 は次の図の灰色の部分を表し,x2+y2>9 すなわち x2+y2−9>0 は白色の部分を表す.
2) 同様にして (x−3)2+(y + 3)2<16 すなわち (x−3)2+(y + 3)2−16<0 は次の図の灰色の部分を表し,(x−3)2+(y + 3)2>16 すなわち (x−3)2+(y + 3)2−16>0 は白色の部分を表す.

3) そこで

k=

の値が「正」になる点は,−正÷負または−負÷正の場合だから,点 (x , y) は右図の灰色の部分にある.同様にして,k の値が「負」になる点は−正÷正または−負÷負の場合だから,点 (x , y) は右図の白色の部分にある.
 そこで,k>0 のとき,2交点と灰色の部分を通る円は右図の赤で示したような円になり,k<0 のとき,緑で示したような円になる.



[例題1]
 2円
________(x+3)2+(y−3)2=9 …(1)
________x2+y2=9 …(2)
について
(1) 2交点と点 (0 , 0) を通る円の方程式を求めよ.
(2) 2円の交点を通る直線の方程式を求めよ.

[答案]
(1) 求める円の方程式を
________(x+3)2+(y−3)2−9+k(x2+y2−9)=0 …(1)
とおく.
(1)が点 (0 , 0) を通るための条件は
________32+32−9+k(0−9)=0
________9−9k=0
________k=1
このとき,方程式は
________(x+3)2+(y−3)2−9+(x2+y2−9)=0
________2x2+2y2+6x−6y=0
________x2+y2+3x−3y=0 …(答)
(2) (1)において k=−1 とおくと,
________(x+3)2+(y−3)2−9−(x2+y2−9)=0
________(x2+6x+9)+(y2−6y+9)−9−x2−y2+9=0
________6x−6y+18=0
________x−y+3=0 …(答)
[例題2]
__x2+y2−8x+4y−5+k(x2+y2−25)=0 は定数 k の値にかかわらず2つの定点を通ることを示し,定点の座標を求めよ.
定数 k の値にかかわらず a+kb=0 が成立する
⇔ a+kb=0k の恒等式
⇔ a=b=0
[答案]
定数 k の値にかかわらず x2+y2−8x+4y−5+k(x2+y2−25)=0 が成立するためには,
________x2+y2−8x+4y−5=0 …(1)
________x2+y2−25=0 …(2)
が必要条件

連立方程式(1)(2)を解く
(1)-(2)
________−8x+4y+20=0
________y=2x−5 …(3)
(3)を(2)に代入
________x2+(2x−5)2−25=0
________x2+4x2−20x+25−25=0
________5x2−20x=0
________5x(x−4)=0
________x=0 , 4
x=0 のとき(3)より y=−5
x=4 のとき(3)より y=3
ゆえに (x , y)=(0 ,−5) , (4 , 3) (必要)

逆に, (x , y)=(0 ,−5) , (4 , 3) のとき
________x2+y2−8x+4y−5=0 …(1)
________x2+y2−25=0 …(2)
が成り立つから
定数 k の値にかかわらず x2+y2−8x+4y−5+k(x2+y2−25)=0 が成立する.(十分)

以上により,定点の座標は (0 ,−5) , (4 , 3) …(答)
[例題3]
 円 x2+y2+kx+ky−k−5=0 は定数 k の値にかかわらず2定点を通ることを証明しなさい.
※ 「円」と「直線」の組合せでも同様の性質が成り立つ.
定数 k の値にかかわらず x2+y2+ax+by+c+k(dx+ey+f)=0 が成立
⇔  x2+y2+ax+by+c+k(dx+ey+f)=0k の恒等式
⇔ x2+y2+ax+by+c=0 …(1) __dx+ey+f=0 …(2)

 k に関係のある式と k に関係のない式に分けるところがポイント : x2+y2−5+k(x+y−1)=0 と変形しておく.

[答案]
 定数 k の値にかかわらず x2+y2−5+k(x+y−1)=0 が成立するならば,
________x2+y2−5=0 …(1)
________x+y−1=0 …(2)
(1)(2)より,(x , y)=(−1 , 2) , (2 ,−1) (必要条件)

 逆に (x , y)=(−1 , 2) , (2 ,−1) のとき,
________x2+y2−5=0 , x+y−1=0 となるから
________x2+y2−5+k(x+y−1)=0

________0+0k=0
となり,定数 k の値にかかわらず成立する.(十分条件)

 以上により,2定点 (−1 , 2) , (2 ,−1) を通る.
[例題4]
 円 x2+y2−2x−4y−5=0 と直線 y=x−1 の2交点と点 (1 , 2) を通る円の方程式を求めよ.
[答案]
 求める円の方程式を x2+y2−2x−4y−5+k(x−y−1)=0 とおく.
(1 , 2) を通るから
________1+4−2−8−5+k(1−2−1)=0
________-10 -2k=0
________k=−5
このとき,円の方程式は
________x2+y2−2x−4y−5−5(x−y−1)=0
________x2+y2−7x+y=0 …(答)



【問題1】
 2円
________x2+y2−6x+2y+5=0 …(1)
________x2+y2=5 …(2)
について
(1) 2交点と点 (0 , 0) を通る円の方程式を求めよ.
(2) 2円の交点を通る直線の方程式を求めよ.
________(1) 円の方程式は x2+y2x+y=0
________(2) 直線の方程式は x+y+=0
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【問題2】
__x2+y2−2y−9+k(x2+y2−4x+2y+3)=0 は定数 k の値にかかわらず2つの定点を通る.この定点の座標を求めよ.
________________(次の空欄において,ア<イとする.)
________( , )
________( , )
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【問題3】
 円 x2+y2−2kx+ky+10k−25=0 は定数 k の値にかかわらず2定点を通る.この定点の座標を求めよ.
________________(次の空欄において,ア<イとする.)
________( , )
________( , )
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■[個別の頁からの質問に対する回答][2円の交点を通る円・直線の方程式について/17.1.28]
2円の交点を通る円・直線の方程式の [解説] ○ 2つの円 x2+y2+ax+by+c=0 …(1) x2+y2+dx+ey+f=0 …(2) が2点で交わるとき,方程式 x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0…(A) は,定数 k の値にかかわらず2交点を通る円を表す. ここ、2交点を通る円ではなく、図形ではないですか? k=-1のとき直線になるので。
=>[作者]:国語表現の好みの話をしておられるのなら対応しません.「ただし,k=−1 のときは,2交点を通る直線を表す」と書いてあるのですから何も問題はありません.
 これを「(A)は三角形を表すか,四角形を表すか,ただ2点を結んだ曲がった曲線を表すかまったくわかりません.アッハッハー,とにかく図形を表します.」と書けば,この文章は読者に対してほとんど情報を与えません.そんな文章なら書く必要がありません.
 これに対して,日本国憲法第四十五条「衆議院議員の任期は、四年とする。但し、衆議院解散の場合には、その期間満了前に終了する。」のように原則を書き,例外を示すと明快になりますが
 衆議院議員の任期は、そんなもの決まっていません,アハッハー
衆議院が四年以内に解散されなかった場合は四年とする。
衆議院解散の場合には、その期間満了前に終了する。
と書く方が好まれるとは限りません.