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== rの極限 ==
《解説》
■ rnの極限: の値
(要点)
(1)−1<r<1 のとき,
n → ∞のときrn0)とも書く
(2)r=1 のとき,
n → ∞のときrn1)とも書く
(3)r>1 のとき,
n → ∞のときrn)とも書く
(4)r−1 のとき,は振動する
n → ∞のときrn は振動 )とも書く
(証明)・・・分かりやすい順に解説
(3)←
 r>1のとき,r=1+h (h>0)とおくと
 r=(1+h)=1+nh+(正の数)>1+nh→∞
(2)←
 r=1のとき,明らか.
(1)←
−1<r<1のとき,
  •  0<r<1のとき,
  •  r=1÷Rとおくと,R>1だから(3)よりR→∞
     したがって,r→0
  •  r=0のときr→0は明らか
  • −1<r<0のとき
  • |r|→0だからr→0
(4)←
  • r=−1のとき,rはnが偶数であるか,奇数であるかによって1,−1 を振動するから,rは振動
  • r<−1のとき,|r|→∞で符号はnの偶数,奇数によって正負の値をとるから,振動

【例題1】
 一般項が次の式で与えられる数列の極限を求めなさい.

(解答)
○見かけ上 ∞−∞ の形になるものは,「最大項でくくる」と極限を求めやすい.
○最大項でくくると,次のように「どちらの∞が強いかの比較」ができる.

ここで,
したがって
以上2つの積だから

【例題2】
 一般項が次の式で与えられる数列の極限を求めなさい.

(解答)
○見かけ上 ∞÷∞ の形になるものは,分母と分子のそれぞれを「最大項でくくる」と極限を求めやすい.
○最大項でくくると,次のように「くくりだしたものの直接比較」ができる.

ここで

またにより

以上2つの積だから



《問題》 一般項が次の式で与えられる数列の極限を求めなさい.(初めはできなくても、「詳細」をよく見て「変形方法を脳裏に刻み込んで」おいて、2回目にできたらよい。)
≪1≫


≪2≫


≪3≫


≪4≫



≪5≫


≪6≫


≪7≫


≪まとめ≫

○1 見かけ上「∞+∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる
○2 見かけ上「∞×∞」の形になるもの ⇒ 直ちに「∞」と答えられる
○3 見かけ上「∞−∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「最大項でくくる」
○4 見かけ上「∞÷∞」の形になるもの ⇒ どちらの∞が強いかの決着をつけるために「それぞれを最大項でくくる」

※○3、○4の形の極限は(実際には不定になるとは限らないが、見かけの形から)不定形の極限と呼ばれる。

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