《解説》
■ rnの極限:rnの値
(1)−1<r<1 のとき,rn=0
(n → ∞のときrn → 0)とも書く
(2)r=1 のとき,rn=1
(n → ∞のときrn → 1)とも書く
(3)r>1 のとき,rn=∞
(n → ∞のときrn → ∞)とも書く
(4)r≦−1 のとき,rnは振動する
(n → ∞のときrn は振動 )とも書く
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証明
(3)
r>1のとき,r=1+h (h>0)とおくと
rn=(1+h)n=1+nh+(正の数)>1+nh→∞
(2)
r=1のとき,明らか.
(1)
−1<r<1のとき,
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0<r<1のとき,
r=1÷Rとおくと,R>1だから(3)よりRn→∞
したがって,rn→0
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r=0のときrn→0は明らか
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−1<r<0のとき
|r|n→0だからrn→0
(4)
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r=−1のとき,rnはnが偶数であるか,奇数であるかによって1,−1
を振動するから,rnは振動
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r<−1のとき,|r|n→∞で符号はnの偶数,奇数によって正負の値をとるから,振動
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