■逆三角関数の微分法携帯版は別頁
【基本公式】
y=sin−1x → = …(1)
(−1<x<1)
y=cos−1x → = − …(2)
(−1<x<1)
y=tan−1x → = …(3)
(−∞<x<∞)
(解説)
(1)←
y=sin−1x とは x=siny (−≦y≦ , −1≦x≦1)となるyの値のことです.
yの関数x=sinyyで微分すると
=cosy
ところで,三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから
cosy=±
ただし,≦y≦の場合は,cosy≧0
したがって
=
逆関数の微分法により
==
ここで,分母が0となる値を除いて,定義域を−1<x<1とする.
合成関数の微分法を使ってx=sinyxで微分すると考えてもよい.
両辺をxで微分すると
1=(siny)
合成関数の微分法
=
により
(siny)=(siny) =cosy
だから
1=cosy
ゆえに
==
※ 逆三角関数sin−1x , cos−1x , tan−1xの定義については
[→この頁]参照


(2)←
y=cos−1x とは x=cosy (0≦y≦π , −1≦x≦1)となるyの値のことです.
yの関数x=cosyyで微分すると
= − siny
ところで,三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから
siny=±
ただし,0≦y≦πの場合は,siny≧0
したがって
= −
逆関数の微分法により
== −
ここで,分母が0となる値を除いて,定義域を−1<x<1とする.
y=sin−1xの場合と同様に,合成関数の微分法を使って示してもよい.

(3)←
y=tan−1x とは x=tany (−<y< , −∞<x<∞)となるyの値のことです.
yの関数x=tanyyで微分すると
=
ところで,三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから
tan2y+1=
したがって
=tan2y+1=x2+1
逆関数の微分法により
==
y=sin−1xの場合と同様に,合成関数の微分法を使って示してもよい.
【例題1】
y=sin−1 (−4<x<4)の導関数を求めてください.
(解答)
y=sin−1t , t=とおくと
合成関数の微分法により
====
【例題2】
y=x sin−1x (−1<x<1)の導関数を求めてください.
(解答)
積の微分法により
=(x)sin−1x+x(sin−1x)=sin−1x+
【例題3】
y=cos−12x (−<x<)の導関数を求めてください.
(解答)
y=cos−1t , t=2xとおくと
合成関数の微分法により
== − ·2= −
【例題4】
y=tan−1(2−x)の導関数を求めてください.
(解答)
y=tan−1t , t=2−xとおくと
合成関数の微分法により
==·(−1)= −

○正しい番号を選択してください.
○番号をクリックすれば採点結果が表示され,解説を読むことができます.
[問題1]
次の関数の導関数を求めてください.
y=sin−1 (−3<x<3)

1= 2=
3= 4=



[問題2]
次の関数の導関数を求めてください.
y=sin−1 3x (−<x<)

1= 2=
3= 4=



[問題3]
次の関数の導関数を求めてください.
y=sin−1 (x>1)

1= − 2= −
3= − 4= −



[問題4]
次の関数の導関数を求めてください.
y=cos−1 (−2<x<2)

1= − 2= −
3= − 4= −



[問題5]
次の関数の導関数を求めてください.
y=tan−1

1= 2=
3= 4=



[問題6]
次の関数の導関数を求めてください.
y=tan−1 (x≠0)

1= 2= −
3= 4= −



○===メニューに戻る ..高卒数学基礎のメニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][逆三角関数の微分法について/17.5.8]
解けなどという文面ではなく、求めてくださいと書いてあるので嬉しい。本当に嬉しい。
=>[作者]:連絡ありがとう.自分の担当している生徒や受験生に対しては,教えるものと学ぶものという上限関係がはっきりしているので,伝統的な数学本のスタイルで「解け」といってもおかしくないのですが,Web上の一時的な関わりではそれほど明確な上下関係はないので,敬語もありかなという感じです.ただし,教材作成に18年近くかかっていますので昔風に「解け」という文章も残っています.