空間における直線の方程式

→ 携帯版は別頁

== 空間における直線の方程式 ==

○　三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線の方程式は

== …(1)

○　ただし，方向ベクトル=(a, b, c)のうち，いずれか１つの成分が0であるとき，例えば，b=0のときは

=, y=y0 …(1’)

○　方向ベクトル=(a, b, c)のうち，いずれか２つの成分が0であるとき，例えば，b=0, c=0のときは
y=y0, z=z0 …(1”)

(1)式において，分子のx,y,zの係数は1として使うようになっています．だから

のような方程式は，

==と変形することにより，

点(, 0, 1)を通り，方向ベクトル=(, 2, −5)に平行

な直線と解釈することになります．方向ベクトルの大きさは自由に指定できるので，=(3, 4, −10)に平行とすることもできます．

【例１】
点P0(1, −2, 3)を通り，方向ベクトル=(4, 5, −6)に平行な直線の方程式は

【例２】
点P0(2, 4, −3)を通り，方向ベクトル=(1, 0, −2)に平行な直線の方程式は

x−2= , y=4

【例３】
点P0(1, 2, 3)を通り，方向ベクトル=(0, 0, 5)に平行な直線の方程式は

x=1, y=2

≪解説≫
○　点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線上にある１点をP(x, y, z)とおくとき，その位置ベクトル=→OP=(x, y, z)は

=→OP0+t　（tは実数）

で表されます．
例えば，t=0のときは，=→OP0となって，点P0を表します．
例えば，

t=1のときは，=→OP0+
t=2のときは，=→OP0+2
t=3のときは，=→OP0+3

となって，各々図に示した点を表します．
このようにして，tがすべての実数値をとるとき，=→OP0+tはこの直線上のすべての点を指します．

(x, y, z)=(x0 , y0 , z0)+t(a, b, c)　（tは実数）
を成分に分けると

x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct

これらは，各々次の形に書けます．

したがって，

==(=t)

となりますが，実数t（媒介変数）は必要なときだけ明示的に書くことにして，普段は書かずにx, y, z座標だけの方程式にすると

==…(1)

となります．

右に続く→

○　方向ベクトル=(a, b, c)のうち，いずれか１つの成分が0であるとき，例えば，b=0のときは，(1)式で分母が0となって，そのままでは使えません．

x=x0+at
y=y0+0t=y0
z=z0+ct

したがって，

=, y=y0 …(1’)

となります．

※　一般に，三次元空間（自由度３）において，１つの制限（方程式による縛り）を入れると，自由度が1つ減って２次元（平面や曲面）になります．方程式２つなら，自由度が２つ減って１次元（直線や曲線）になります．

(1)式は=, =

という連立方程式を省略的に表したもので，方程式２つになっています．
　このように，三次元空間における直線の方程式は，１つの方程式では表せず，「連立方程式」で書くことになります．(1’)は，その連立方程式を分けて書いたものです．

(1’)のグラフはy軸に垂直な（y軸を串刺しにしたような）平面y=y0（＝一定）上にあって，x,zの関係が

=で表される直線ということになります．

○　方向ベクトル=(a, b, c)のうち，２つの成分が0であるとき，例えば，b=0, c=0のときも，(1)式で分母が２つ0となって，そのままでは使えません．

x=x0+at
y=y0+0t=y0
z=z0+0t=z0

　このとき，y, zは定数となって，グラフはy軸に垂直な平面とz軸に垂直な平面の両方を満たします（それらの交線上にあります）．x座標は，x=x0+at (a≠0)から，tが実数全体を変化するとき，xは実数全体を変化します．すなわち「xは任意の値をとります」．すなわち，制限がありません．

　このような，任意の値をとる変数（制限のないもの）は，方程式（制限の式）としては，何も書きません．
　例えば，x-y平面上でy軸に垂直な右図の直線の方程式は，単にy=3と書き，xについては何も書きませんが，それはxは任意の値をとる（制限がない）ということです．y=3でありさえすれば，(0,3), (1,3), (2,3), ..などはすべてこの直線上にあります．
同様にして，x-y平面上でx軸に垂直な直線の方程式は，単にx=3と書き，yについては何も書きませんが，それはyは任意の値をとる（制限がない）ということです．x=2でありさえすれば，(2,0), (2,1), (2,2), ..などはすべてこの直線上にあります．

※

==の形の方程式を変形するときの注意点

(1)　１つの分数（第1辺，第2辺，第3辺だけ）を約分などで変形するときは，他の分数には影響しません

==→==

(2)　各辺に同じ数を掛けたり，同じ数で割ったりすることはできます

==→==

(3)　方程式の見かけが違っていても，同じ直線を表している場合があります

==→==

(1,2,3)を通り，方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線は，(1+3,2+4,3+5)を通り，方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線と考えることもできます．
これは

−1=−1=−1→==

のように，各辺から1だけ引く変形と対応しています．

(4)　３つの辺から成り立っている方程式では，「移項」という考え方はしない方がよいでしょう．（第3の辺の取り扱いが分かりにくくなります）
x+a=y+b=z+c → x+a−b=y=z+c ??
【要約】
⇒　「１つの分数の分母と分子で約分する」「３つの辺に同じ数を足す，引く，掛ける，同じ数で割る」などが安全な変形です

　以下，正しい番号を選択してください．

［問題１］
点(2, 1, −3)を通り，方向ベクトル=(3, −2, 1)に平行な直線の方程式を求めてください．

1==z−3 2==z+3

33(x+2)=2(y+1)=z+3 43(x−2)=2(y−1)=z−3
解説

通る点の座標が(2, 1, −3)で，方向ベクトルが(3, −2, 1)だから

すなわち

==z+3

になります．

→2

［問題２］
点(3, 0, −1)を通り，方向ベクトル=(−2, 3, 0)に平行な直線の方程式を求めてください．

1= , z=−1 2=z+1 , y=3

3==z+1 4=y−3=−z
解説

通る点の座標が(3, 0, −1)で，方向ベクトルが(−2, 3, 0)だから

= , z=−1

すなわち

= , z=−1

になります．

→1

［問題３］
点(0, 4, −5)を通り，方向ベクトル(3, 0, 0)に平行な直線の方程式を求めてください．

1=y−4=z+5 2x−3==

3y=4 , z=−5 4y−4=z+5
解説

(x, y, z)=(0, 4, −5)+t(3, 0, 0)　（tは実数）
を成分に分けると

x=3t（任意の値）
y=4
z=−5

となります．

→3

［問題４］
媒介変数表示

x=p+ut
y=−q+vt
z=r−wt

（tは実数, u, v, w≠0）
に対応する直線の方程式（x, y, zの関係式）を求めてください．

1== 2==

3== 4==

解説

通る点の座標が(p, −q, r)で，方向ベクトルが(u, v, −w)だから

すなわち

になります．

→2

【例題１】
　点(4, −2, 0)を通り，直線= , y=1に平行な直線の方程式を求めてください．

（解答）

≪ポイント≫
直線の方程式
= , y=1

は，方向ベクトルを取り出すためだけに使う！点(1, 1, −3)は関係ない！

点(4, −2, 0)を通り，方向ベクトル(2, 0, 3)に平行な直線の方程式を求めればよいから

= , y=−2

【例題２】
　２直線=y= とy=x+2, z=−1 のなす角を求めて

ください．

（解答）

≪ポイント≫
２直線が交わらない場合（空間的に「ねじれの位置」にあるときや「平行」な場合）でも，２つの方向ベクトルのなす角を２直線のなす角という

方向ベクトルは各々=(2, 1, −2),
=(1, 1, 0)だから

||==3
||==
·=2+1+0=3

·=||·||cosθ
から

cosθ==

θ=

　以下，正しい番号を選択してください．

［問題５］
直線==に平行で，点(0, −1, 3)を通る

直線の方程式を求めてください．

1== 2==

3y+1= , x=0 4y+1= , x=−1
解説

点(0, −1, 3)を通り，方向ベクトル(2, 3, −1)に平行な直線の方程式を求めればよいから

→2

［問題６］
次の２直線のなす角を求めてください．

==…(1)

x=0 , =…(2)

1 2 3 4

解説

(1)は

と変形すると，方向ベクトル=(, 3, 1)
(2)は方向ベクトル=(0, −4, −3)
だから

||==2
||=5
·=−15

cosθ==−

θ=

→4

○　三次元空間において２点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通る直線の方程式は

≪解説≫

「x,y,zがいろいろあって，混乱する～」などと，初歩的な弱音を吐いていてはだめです．実際には，変数は赤で示した３個だけで，他のものは単なる係数です．

　２点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通るということから，１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル=(x0−x1 , y0−y1 , z0−z1 )に平行な直線と読み替えると,この公式になります．
　なお，方向ベクトルのうち１つまたは２つの成分が0になるときの取り扱いは，上で述べたことと同様です．

【例題３】
　２点P0(3, 4, −2) , P1(3, 6, 1)を通る直線の方程式を求めてください．

（解答）
　方向ベクトルは→P0P1=(3−3 , 6−4, 1−(−2) )=(0, 2, 3)だから

= , x=3

（別解）
　点P1(3, 6, 1)を通り，方向ベクトル→P0P1=(0, 2, 3)に平行な直線と考えて

= , x=3

と答えてもよく，方向ベクトルを→P1P0=(0, −2, −3)として

= , x=3

などと答えてもよい．

［問題７］
２点P0(−1, 2, 3) , P1(4, −5, 6)を通る直線の方程式を求めてください．

1== 2==

3== 4==

解説

点P0(−1, 2, 3)を通り，方向ベクトル→P0P1=(5, −7, 3)に平行な直線だから

→3

［問題８］
２点P0(1, 4, 3) , P1(−2, 4, 5)を通る直線の方程式を求めてください．

1= , z=3 2= , y=4

3== 4==

解説

点P0(1, 4, 3)を通り，方向ベクトル→P0P1=(−3, 0, 2)に平行な直線だから

→2

≪媒介変数表示を使いこなそう！≫

【例題４】
　１点P0(1, 0, 2)から直線==までの最短距離

を求めてください．

（解答）
　直線==上の点Pの

座標(x,y,z)は，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．

x=4t+8
y=3t−1
z=2t+4

したがって，２点P0P間の距離は
|P0P|2=(4t+7)2+(3t−1)2+(2t+2)2
と，tの２次関数で表すことができますので，その最小値を求めればよいことになります．
|P0P|2=...=29(t+1)2+25
となるので，t=−1のとき，|P0P|2=25，すなわち|P0P|=5となります．

→P0P⊥のとき，P0Pは最小となるので，内積→P0P·=0から求めると，もう少し簡単に計算できます．
4(4t+7)+3(3t−1)+2(2t+2)=0より
29t=−29
t=−1
このとき，P(4, −4, 2)，P0P===5

［問題９］
原点O(0,0,0)から直線==までの最短距離

を求めてください．

11 22 33 44

解説

　直線==上の点Pの座標(x,y,z)は，媒介変数

tを用いて次のように表すことができます．

x=−2t−1
y=2t
z=3t+5

→OP⊥=(−2,2,3)のとき，OPは最小となるので，内積→OP·=0から
−2(−2t−1)+2(2t)+3(3t+5)=0より
17t+17=0
t=−1
このとき，P(1,−2,2)，OP===3

→3

【例題５】
　２直線==z−2 , ==の両方に垂直に

交わる直線の方程式を求めてください．

（解答）
　直線==z−2上の点

P1(x1 ,y1 ,z1 ) は，媒介変数sを用いて次のように表すことができます．

x1=3s
y1=−s+9
z1=s+2

　同様にして，直線==上の点

P2(x2 ,y2 ,z2 ) は，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．

x2=−3t−3
y2=2t−7
z2=4t+6

※　単に垂直であるだけでなく，実際に交わっていることから，P1(x1 ,y1 ,z1 )，P2(x2 ,y2 ,z2 )が各々の直線の方程式を満たすといえます．

　このとき，２直線の方向ベクトル=(3, −1, 1) , =(−3, 2,4)に対して，→P1P2=(−3t−3s−3, 2t+s−16, 4t−s+4)が垂直となればよいから
·→P1P2=0
⇔3(−3t−3s−3)−(2t+s−16)+(4t−s+4)=0…(1)
·→P1P2=0
⇔−3(−3t−3s−3)+2(2t+s−16)+4(4t−s+4)=0…(2)
(1)→−7t−11s+11=0
(2)→29t+7s−7=0
これを解くと，s=1, t=0
P1(3,8,3), P2(−3,−7,6)となるから，これら２点を通る直線の方程式は

方向ベクトルの大きさ（≠0）は自由に定めることができるから

==3−z

［問題10］
２直線=y−4=z−2 , ==の両方に

垂直に交わる直線の方程式を求めてください．

1=y−2= 2=y+2=

3=y+2= 4=y−2=

解説

　直線=y−4=z−2上の点P は，媒介変数sを用いて

次のように表すことができます．

x=2s+5
y=s+4
z=s+2

　同様にして，直線==上の点Qは，媒介

変数tを用いて次のように表すことができます．

x=−5t−1
y=2t+3
z=−4t+3

　このとき，２直線の方向ベクトル=(2,1,1) , =(−5, 2, −4)に対して，→PQ=(−5t−2s−6, 2t−s−1, −4t−s+1)が垂直となればよいから
·→PQ=0
⇔2(−5t−2s−6)+(2t−s−1)+(−4t−s+1)=0…(1)
·→PQ=0
⇔−5(−5t−2s−6)+2(2t−s−1)−4(−4t−s+1)=0…(2)
(1)→−12t−6s−12=0
(2)→45t+12s+24=0
これを解くと，s=−2, t=0
P(1,2,0), Q(−1,3,3)となるから，これら２点を通る直線の方程式は

=y−2=

→4

【例題６】
点(2,0,4)を通り，２直線x−1==2−z , 3−x==

の両方に垂直な直線の方程式を求めてください．

（解答）
　直線x−1==2−zの方向ベクトルは

=(1,3,−1)，直線3−x==

の方向ベクトルは=(−1,2,3)とおける．　求める直線の方向ベクトルを=(a,b,c)とおくと ·=0
⇔a+3b−c=0…(1)
·=0
⇔−a+2b+3c=0…(2)

※　この問題では，単に垂直であればよく，実際に交わっているとは限りません．

この方程式を解く（未知数が３個で，方程式が２個だから，不定解となる．そこで例えば１文字cについては「解かない」と決めて，分かりやすくするために「かっこ」に入れておく）
a+3b=(c)…(1’)
−a+2b=(−3c)…(2’)
解をcで表すと

a=(c) , b=(−c)

したがって

=(c , −c , c)

方向ベクトルの大きさ（≠0）は自由に定めることができるから =(11,−2,5)とすると，求める直線の方程式は

=−=

［問題11］
点(1, 2, 3)を通り，２直線

x−2= , z=4

= , y=2

の両方に垂直な直線の方程式を求めてください．

1x−1== 2x−1==

3== 4==

解説

　直線x−2= , z=4の方向ベクトルは

=(1,3,0)，直線= , y=2の方向ベクトルは

=(2, 0, −1)とおける．
　求める直線の方向ベクトルを=(a,b,c)とおくと
·=0
⇔a+3b+0c=0…(1)
·=0
⇔2a+0b−c=0…(2)
a+3b=0…(1’)
2a−c=0…(2’)
不定方程式(1’)(2’)の解をaで表すと

b=(−a) , c=(2a)

したがって

=(a, −a , 2a)

方向ベクトルの大きさは自由に定めることができるから， =(3,−1,6)とすると，求める直線の方程式は

→3

【例題７】

　直線3−x==に関して点P0(3,4,5)と対称な点

の座標を求めてください．

（解答）
　求める点をP1(p,q,r)とおくと，線分P0P1の（１つの）垂直二等分線が

直線3−x==になればよい．

　そのためには，
ベクトル→P0P1=(p−3,q−4,r−5)が

直線3−x==の方向ベクトル=(−1,2,3)に垂直…(*)
かつ
線分P0P1の中点(,,)が直線

3−x==

上にあればよい．…(#)

(*)→−(p−3)+2(q−4)+3(r−5)=0
−p+2q+3r=20…(1)

(#)→3−==

これより，2(p−3)=−(q+8) → 2p+q=−2…(2)
3(q+8)=2(r+1) → 3q−2r=−22…(3)
(1)(2)(3)よりp=0, q=−2, r=8
P1(0, −2, 8)

［問題12］
直線x−3==z−5に関して原点O(0, 0, 0)と対称

な点の座標を求めてください．

1(2, −4, 6) 2(1, −2, 3)

3(−3, −2, −5) 4(6, 4, 10)

解説

　求める点をP(p,q,r)とおくと，線分OPの（１つの）垂直二等分線が

直線x−3==z−5になればよい．

　そのためには，ベクトル→OP=(p, q, r)が

直線x−3==z−5の方向ベクトル=(1, 2, 1)に垂直…(*)
かつ
線分OPの中点(,,)が直線x−3==z−5

上にあればよい．…(#)
(*)→p+2q+r=0…(1)

(#)→−3==−5

これより，2p−12=q−4 → 2p−q=8…(2)
q−4=2r−20 → q−2r=−16…(3)
(1)(2)(3)よりp=2, q=−4, r=6
P(2, −4, 6)

→1

【例題８】

　点P0(3,4,5)に関して直線3−x==と対称な直線

の方程式を求めてください．

（解答）

　直線3−x==上の動点を

P(p,q,r)，求める直線上の動点をQ(x,y,z)とするとき，PQの中点がP0になればよい．

PQはこれらの直線とは垂直になるとは限らない点に注意

　P(p,q,r)とQ(x,y,z)の中点の座標は

(,,)

これが，P0(3,4,5)に一致すればよいから

=3, =4, =5

P(p,q,r)は

3−p==

を満たすから

3−(6−x)==

x−3==

［問題13］
点P0(−1, 2, 3)に関して直線==z−4と対称

な直線の方程式を求めてください．

1==z−3 2==z−2

3== 4==

解説

　直線==z−4上の動点を

P(p,q,r)，求める直線上の動点をQ(x,y,z)とするとき，PQの中点がP0になればよい．
　P(p,q,r)とQ(x,y,z)の中点の座標は

(,,)

これが，P0(−1,2,3)に一致すればよいから

=−1, =2, =3

P(p,q,r)は

==r−4

を満たすから

==(6−z)−4

==2−z

==z−2

→2