■空間における直線の方程式→ 携帯版は別頁

○ 三次元空間において1点P0(x0 , y0 , z0 )を通り,方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線の方程式は
== …(1)
○ ただし,方向ベクトル=(a, b, c)のうち,いずれか1つの成分が0であるとき,例えば,b=0のときは
=, y=y0 …(1’)
○ 方向ベクトル=(a, b, c)のうち,いずれか2つの成分が0であるとき,例えば,b=0, c=0のときは
y=y0, z=z0 …(1”)

(1)式において,分子のx,y,zの係数は1として使うようになっています.だから
==
のような方程式は,
==と変形することにより,
(, 0, 1)を通り,方向ベクトル=(, 2, −5)に平行
な直線と解釈することになります.方向ベクトルの大きさは自由に指定できるので,=(3, 4, −10)に平行とすることもできます.
【例1】
P0(1, −2, 3)を通り,方向ベクトル=(4, 5, −6)に平行な直線の方程式は
==
【例2】
P0(2, 4, −3)を通り,方向ベクトル=(1, 0, −2)に平行な直線の方程式は
x−2= , y=4
【例3】
P0(1, 2, 3)を通り,方向ベクトル=(0, 0, 5)に平行な直線の方程式は
x=1, y=2

≪解説≫
○ 点P0(x0 , y0 , z0 )を通り,方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線上にある1点をP(x, y, z)とおくとき,その位置ベクトル==(x, y, z)
=+t (tは実数)
で表されます.
例えば,t=0のときは,=となって,点P0を表します.
例えば,
t=1のときは,=+
t=2のときは,=+2
t=3のときは,=+3
となって,各々図に示した点を表します.
このようにして,tがすべての実数値をとるとき,=+tはこの直線上のすべての点を指します.
(x, y, z)=(x0 , y0 , z0)+t(a, b, c) (tは実数)
を成分に分けると
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
これらは,各々次の形に書けます.
=t
=t
=t
したがって,
==(=t)
となりますが,実数t(媒介変数)は必要なときだけ明示的に書くことにして,普段は書かずにx, y, z座標だけの方程式にすると
==…(1)
となります.

右に続く→
○ 方向ベクトル=(a, b, c)のうち,いずれか1つの成分が0であるとき,例えば,b=0のときは,(1)式で分母が0となって,そのままでは使えません.
x=x0+at
y=y0+0t=y0
z=z0+ct
したがって,
=, y=y0 …(1’)
となります.
※ 一般に,三次元空間(自由度3)において,1つの制限(方程式による縛り)を入れると,自由度が1つ減って2次元(平面や曲面)になります.方程式2つなら,自由度が2つ減って1次元(直線や曲線)になります.
(1)式は=, =
という連立方程式を省略的に表したもので,方程式2つになっています.
 このように,三次元空間における直線の方程式は,1つの方程式では表せず,「連立方程式」で書くことになります.(1’)は,その連立方程式を分けて書いたものです.
(1’)のグラフはy軸に垂直な(y軸を串刺しにしたような)平面y=y0(=一定)上にあって,x,zの関係が
=で表される直線ということになります.
○ 方向ベクトル=(a, b, c)のうち,2つの成分が0であるとき,例えば,b=0, c=0のときも,(1)式で分母が2つ0となって,そのままでは使えません.
x=x0+at
y=y0+0t=y0
z=z0+0t=z0
 このとき,y, zは定数となって,グラフはy軸に垂直な平面とz軸に垂直な平面の両方を満たします(それらの交線上にあります).x座標は,x=x0+at (a≠0)から,tが実数全体を変化するとき,xは実数全体を変化します.すなわち「xは任意の値をとります」.すなわち,制限がありません
 このような,任意の値をとる変数(制限のないもの)は,方程式(制限の式)としては,何も書きません.
 例えば,x-y平面上でy軸に垂直な右図の直線の方程式は,単にy=3と書き,xについては何も書きませんが,それはxは任意の値をとる(制限がない)ということです.y=3でありさえすれば,(0,3), (1,3), (2,3), ..などはすべてこの直線上にあります.
同様にして,x-y平面上でx軸に垂直な直線の方程式は,単にx=3と書き,yについては何も書きませんが,それはyは任意の値をとる(制限がない)ということです.x=2でありさえすれば,(2,0), (2,1), (2,2), ..などはすべてこの直線上にあります.
==の形の方程式を変形するときの注意点

(1) 1つの分数(第1辺,第2辺,第3辺だけ)を約分などで変形するときは,他の分数には影響しません
====
====
(2) 各辺に同じ数を掛けたり,同じ数で割ったりすることはできます
====
(3) 方程式の見かけが違っていても,同じ直線を表している場合があります
====
(1,2,3)を通り,方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線は,(1+3,2+4,3+5)を通り,方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線と考えることもできます.
これは
−1=−1=−1==
のように,各辺から1だけ引く変形と対応しています.
(4) 3つの辺から成り立っている方程式では,「移項」という考え方はしない方がよいでしょう.(第3の辺の取り扱いが分かりにくくなります)
x+a=y+b=z+c → x+a−b=y=z+c ??
【要約】
⇒ 「1つの分数の分母と分子で約分する」「3つの辺に同じ数を足す,引く,掛ける,同じ数で割る」などが安全な変形です
 以下,正しい番号を選択してください.
[問題1]
(2, 1, −3)を通り,方向ベクトル=(3, −2, 1)に平行な直線の方程式を求めてください.

1==z−3 2==z+3

33(x+2)=2(y+1)=z+3 43(x−2)=2(y−1)=z−3


[問題2]
(3, 0, −1)を通り,方向ベクトル=(−2, 3, 0)に平行な直線の方程式を求めてください.

1= , z=−1 2=z+1 , y=3

3==z+1 4=y−3=−z


[問題3]
(0, 4, −5)を通り,方向ベクトル(3, 0, 0)に平行な直線の方程式を求めてください.

1=y−4=z+5 2x−3==

3y=4 , z=−5 4y−4=z+5


[問題4]
媒介変数表示
x=p+ut
y=−q+vt
z=r−wt
tは実数, u, v, w≠0
に対応する直線の方程式(x, y, zの関係式)を求めてください.

1== 2==

3== 4==


【例題1】
 点(4, −2, 0)を通り,直線= , y=1に平行な直線の方程式を求めてください.
(解答)
≪ポイント≫
直線の方程式
= , y=1
は,方向ベクトルを取り出すためだけに使う!点(1, −3, 1)は関係ない!
(4, −2, 0)を通り,方向ベクトル(2, 0, 3)に平行な直線の方程式を求めればよいから
= , y=−2

【例題2】
 2直線=y=y=x+2, z=−1 のなす角を求めて
ください.
(解答)
≪ポイント≫
2直線が交わらない場合(空間的に「ねじれの位置」にあるときや「平行」な場合)でも,2つの方向ベクトルのなす角を2直線のなす角という
方向ベクトルは各々=(2, 1, −2),
=(1, 1, 0)
だから
||==3
||==
·=2+1+0=3
·=||·||cosθ
から
cosθ==
θ=
 以下,正しい番号を選択してください.
[問題5]
直線==に平行で,点(0, −1, 3)を通る
直線の方程式を求めてください.

1== 2==

3y+1= , x=0 4y+1= , x=−1


[問題6]
次の2直線のなす角を求めてください.
==…(1)
x=0 , =…(2)
1 2 3 4




○ 三次元空間において2点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通る直線の方程式は
==
≪解説≫
x,y,zがいろいろあって,混乱する〜」などと,初歩的な弱音を吐いていてはだめです.実際には,変数は赤で示した3個だけで,他のものは単なる係数です.
 2点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通るということから,1点P0(x0 , y0 , z0 )を通り,方向ベクトル=(x0−x1 , y0−y1 , z0−z1 )に平行な直線と読み替えると,この公式になります.
 なお,方向ベクトルのうち1つまたは2つの成分が0になるときの取り扱いは,上で述べたことと同様です.
【例題3】
 2点P0(3, 4, −2) , P1(3, 6, 1)を通る直線の方程式を求めてください.
(解答)
 方向ベクトルは=(3−3 , 6−4, 1−(−2) )=(0, 2, 3)だから
= , x=3
(別解)
 点P1(3, 6, 1)を通り,方向ベクトル=(0, 2, 3)に平行な直線と考えて
= , x=3
と答えてもよく,方向ベクトルを=(0, −2, −3)として
= , x=3
などと答えてもよい.
[問題7]
2点P0(−1, 2, 3) , P1(4, −5, 6)を通る直線の方程式を求めてください.

1== 2==

3== 4==



[問題8]
2点P0(1, 4, 3) , P1(−2, 4, 5)を通る直線の方程式を求めてください.

1= , z=3 2= , y=4

3== 4==




≪媒介変数表示を使いこなそう!≫
【例題4】
 1点P0(1, 0, 2)から直線==までの最短距離
を求めてください.
(解答)
 直線==上の点P
座標(x,y,z)は,媒介変数tを用いて次のように表すことができます.
x=4t+8
y=3t−1
z=2t+4
したがって,2点P0P間の距離は
|P0P|2=(4t+7)2+(3t−1)2+(2t+2)2
と,tの2次関数で表すことができますので,その最小値を求めればよいことになります.
|P0P|2=...=29(t+1)2+25
となるので,t=−1のとき,|P0P|2=25,すなわち|P0P|=5となります.
のとき,P0Pは最小となるので,内積·=0から求めると,もう少し簡単に計算できます.
4(4t+7)+3(3t−1)+2(2t+2)=0より
29t=−29
t=−1
このとき,P(4, −4, 2)P0P===5
[問題9]
原点O(0,0,0)から直線==までの最短距離
を求めてください.

11 22 33 44



【例題5】
 2直線==z−2 , ==の両方に垂直に
交わる直線の方程式を求めてください.
(解答)
 直線==z−2上の点
P1(x1 ,y1 ,z1 ) は,媒介変数sを用いて次のように表すことができます.
x1=3s
y1=−s+9
z1=s+2
 同様にして,直線==上の点
P2(x2 ,y2 ,z2 ) は,媒介変数tを用いて次のように表すことができます.
x2=−3t−3
y2=2t−7
z2=4t+6
※ 単に垂直であるだけでなく,実際に交わっていることから,P1(x1 ,y1 ,z1 )P2(x2 ,y2 ,z2 )が各々の直線の方程式を満たすといえます.

 このとき,2直線の方向ベクトル=(3, −1, 1) , =(−3, 2,4)に対して,=(−3t−3s−3, 2t+s−16, 4t−s+4)が垂直となればよいから
·=0
3(−3t−3s−3)−(2t+s−16)+(4t−s+4)=0…(1)
·=0
−3(−3t−3s−3)+2(2t+s−16)+4(4t−s+4)=0…(2)
(1)→−7t−11s+11=0
(2)→29t+7s−7=0
これを解くと,s=1, t=0
P1(3,8,3), P2(−3,−7,6)となるから,これら2点を通る直線の方程式は
==
方向ベクトルの大きさ(≠0)は自由に定めることができるから
==3−z
[問題10]
2直線=y−4=z−2 , ==の両方に
垂直に交わる直線の方程式を求めてください.

1=y−2= 2=y+2=
3=y+2= 4=y−2=



【例題6】
 点(2,0,4)を通り,2直線x−1==2−z , 3−x==
の両方に垂直な直線の方程式を求めてください.
(解答)
 直線x−1==2−zの方向ベクトルは
=(1,3,−1),直線3−x==
の方向ベクトルは=(−1,2,3)とおける.  求める直線の方向ベクトルを=(a,b,c)とおくと ·=0
a+3b−c=0…(1)
·=0
−a+2b+3c=0…(2)
※ この問題では,単に垂直であればよく,実際に交わっているとは限りません.
この方程式を解く(未知数が3個で,方程式が2個だから,不定解となる.そこで例えば1文字cについては「解かない」と決めて,分かりやすくするために「かっこ」に入れておく)
a+3b=(c)…(1’)
−a+2b=(−3c)…(2’)
解をcで表すと
a=(c) , b=(−c)
したがって
=(c , −c , c)
方向ベクトルの大きさ(≠0)は自由に定めることができるから =(11,−2,5)とすると,求める直線の方程式は
=−=
[問題11]
(1, 2, 3)を通り,2直線
x−2= , z=4
= , y=2
の両方に垂直な直線の方程式を求めてください.

1x−1== 2x−1==
3== 4==



【例題7】
 直線3−x==に関して点P0(3,4,5)と対称な点
の座標を求めてください.
(解答)
 求める点をP1(p,q,r)とおくと,線分P0P1の(1つの)垂直二等分線が
直線3−x==になればよい.
 そのためには,
ベクトル=(p−3,q−4,r−5)
直線3−x==の方向ベクトル=(−1,2,3)に垂直…(*)
かつ
線分P0P1の中点(,,)が直線
3−x==
上にあればよい.…(#)
(*)→−(p−3)+2(q−4)+3(r−5)=0
−p+2q+3r=20…(1)
(#)→3−==
==
==
==
これより,2(p−3)=−(q+8) → 2p+q=−2…(2)
3(q+8)=2(r+1) → 3q−2r=−22…(3)
(1)(2)(3)よりp=0, q=−2, r=8
P1(0, −2, 8)
[問題12]
直線x−3==z−5に関して原点O(0, 0, 0)と対称
な点の座標を求めてください.

1(2, −4, 6) 2(1, −2, 3)
3(−3, −2, −5) 4(6, 4, 10)



【例題8】
 点P0(3,4,5)に関して直線3−x==と対称な直線
の方程式を求めてください.
(解答)
 直線3−x==上の動点を
P(p,q,r),求める直線上の動点をQ(x,y,z)とするとき,PQの中点がP0になればよい.
PQはこれらの直線とは垂直になるとは限らない点に注意
 P(p,q,r)Q(x,y,z)の中点の座標は
(,,)
これが,P0(3,4,5)に一致すればよいから
=3, =4, =5
P(p,q,r)
3−p==
を満たすから
3−(6−x)==
x−3==
[問題13]
P0(−1, 2, 3)に関して直線==z−4と対称
な直線の方程式を求めてください.

1==z−3 2==z−2
3== 4==




■[個別の頁からの質問に対する回答][空間における直線の方程式について/16.11.9]
(1’)のグラフはy軸に垂直な(y軸を串刺しにしたような)〜の説明でY−Y0/aはZ-Z0/bではないでしょうか?67歳です。放射線被曝の影響評価を理解するために、高校数学を学び直しています。丁寧な解説と直近の問題があるので、とても理解しやすく役立っています。ありがとうございます。なんとか微積・統計確率まで行きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][空間における直線の方程式について/16.11.5]
例題4の解答欄図のP0の座標数値が(1,2,0)になっています。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.

.