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=== 複素数平面の入試問題 ===

各々の答案は筆者が作成したものです.間違いなどがありましたらお知らせください.
*** 目次 ***(クリックすれば該当項目にジャンプします)

【要点】
(1) 2点A(α), B(β)間の距離ABは,
|α−β|
で表される.
(2) 動点P(z)が方程式
|z|=r (r>0)
を満たすとき,点P(z)は原点を中心とする半径rの円周上にある.

(3) 動点P(z),定点A(α)について
|z−α|=r (r>0)
が成り立つとき,点P(z)は点A(α)を中心とする半径rの円周上にある.
(4) 複素数の絶対値|z|については

の変形がよく用いられる.
【例題1.1】
複素数z|z−2i|=2を満たすとき,の最大値と最小値を求めよ.また,そのときのzの値を求めよ.ただし,iは虚数単位である.
(山形大学2016年)
(解答)
 |z−2i|=2は右図の青で示した通り,y軸(虚軸)上の点A(2i)を中心とする半径2の円を表す.

 x軸(実軸)上の点からの距離を表す.

 右図の赤で示した通り,点を中心とする円が元の円に内接する点Pは最大となり,外接する点Qで最小になる.

 △AOBは辺の長さがの直角三角形だからBP=6, BQ=2
 のとき最大値6をとる.
 のとき最小値2をとる.
(三角不等式を用いた別解)
|α|<|β|のとき,一般に次の不等式が成り立つ.(三角不等式と呼ばれる)
|β|−|α|≦|α+β|≦|α|+|β|

βを固定して,αの向きを変えていくと,α+βは図の赤で示した円周上にある.
1) αβが同じ向きに平行なときに図のPで示した点で|α+β|の値は最大値|α|+|β|となる.
2) αβが逆向きに平行なときに図のQで示した点で|α+β|の値は最小値|β|−|α|となる.


ここで
であるから,
が同じ向きに平行であるとき,最大値6になり,逆向きに平行であるとき最小値2になる.

【例題1.2】
複素数zを満たすとする.ここで,iは虚数単位,zの共役複素数である.
(1) 複素数平面上で,等式を満たす点zの全体の集合は中心が+i,半径がの円を表す.
(2) 等式を満たすzについて,絶対値|z|の最大値は
+,最小値はとなる.
(東京理科大2016年.一部引用)
(解答)




と変形する.
中心が3+4i,半径がの円→(1)

原点からの距離|z|は上記の円に対して原点を中心とする円が内接する点Pにおいて最大値をとり,外接する点Qにおいて最小値をとる→(2)
(2)(三角不等式を用いた別解)
一般に次の不等式が成り立つ.
|β|−|α|≦|α+β|≦|α|+|β|(ただし|α|<|β|とする)


と変形する.

であるから,
が同じ向きに平行であるとき,最大値になり,逆向きに平行であるとき最小値になる.


【問題1】 選択肢の中から正しい答を選んでください.(クリックする)
(1)
複素数平面上で,点zが円|z−1−i|=1上を動くとき,式w=3iz+6−2iで表される点wが描く図形をC0とする.
(1) C0は円であることを示しなさい.また,C0の中心と半径を求めなさい.
(首都大学東京2016年.一部引用[当教材では選択問題に変更])
証明は中心の計算過程で示す
(中心) 半径
1 2 3 4 5 6

(2)
複素数平面上で,方程式で定まる円の中心を表す複素数はfであり,半径はgである.ただし,iは虚数単位である.
(神奈川大2016年.[当教材では選択問題に変更])
(中心) (半径)
3 9 10

(3)
複素数z|i(z−1)+2|=2を満たすとき,l=|z+3|の最大値はである.
(芝浦工大2005年.一部引用[当教材では選択問題に変更])
1 5


次の◎は必ず覚えて覚えておくべきものです.○はどうしてもとは言えませんが,これを知っていると多くの問題で答案の見通しがよくなります.
【要点】
◎(1) 中学校の数学で習ったように,2定点A(α), B(β)からの距離が等しい点P(z)をつないでいくと,ABの垂直二等分線になります.
だから,
|z−α|=|z−β|
を満たす点zの軌跡は,線分ABの垂直二等分線になります.
※この方程式はPAPBの長さが等しいPA=PBということだけを指定しているので
1) PAPBの長さは変化する(一定ではない)ことに注意
2) PAPBは必ずしも一直線上にはなく,ABの中点M以外の点では,AP, PBは折れ線になることに注意

○(2) 高校数学の円の方程式やベクトルのところで習うように,2定点A(α), B(β)からの距離の比が一定である点の軌跡は,アポロニウスの円になります.
 「アポロニウスの円」というのは,変な形の円につけられた名前ではなく,ちゃんとした普通の円であるがアポロニウスという数学者が研究したもので「描き方」につけられた名前
 地中海風スパゲッティという感じで,アポちゃん風の円の描き方と言っているようなもの
 この公式をうまく使うには,次のように3点A, B, Pが一直線上に並ぶ特別な場合,すなわち内分点と外分点を考えるとよい.
m|z−α|=n|z−β|m≠n, n>0, n>0
を満たす点zの軌跡は,
2点A, Bn:mに内分する点と
2点A, Bn:mに外分する点を
直径の両端とする円になる.
m=n (gt;0)のときは円にならず,(1)で述べた垂直二等分線になります.
(2)の証明
 A, Bm:nに内分する点をQm:nに外分する点をRとする.
 垂直関係の証明はベクトルの方が簡単なので
とおいて,となることを示せばよい.

だから



ここで,のとき,分子が0になるから

したがって,PQRを直径の両端とする円周上にある.
PQRに一致するとき,が垂直だとは(高校では)言わないが,上の内積は0になるので,QR自体も軌跡に含まれる.

【例題2.1】
複素数平面において,方程式|z+1|=|z−1|を満たす点zの全体はどのような図形か答えよ.
(愛知教育大2016年)
(解答)
2定点A(1), B(−1)からの距離が等しい点の軌跡だから,2点ABの垂直二等分線すなわち虚軸になる.

【例題2.2】
複素数平面において,等式2|z−4|=3|z−3i|を満たす点zの全体はどのような図形を表すか.ただしiは虚数単位とする.
(札幌医科大2016年)
(解答)
2定点からの距離の比が一定(≠1)となる動点の軌跡は,アポロニウスの円になる.
2定点A(4), B(3i)を結ぶ線分2定点AB3:2に内分する点をQ3:2に外分する点をRとする.


求める軌跡はQRを直径の両端とする円になる.
中心は,QRの中点

半径は


したがって
を中心とする半径の円になる.
※答案の中に「アポロニウスの円」という用語を入れることにより,それが教科書や参考書に書いてある公式であることをほのめかし,根拠なしとして減点されるのを防ぐ

【問題2】 選択肢の中から正しい答を選んでください.(クリックする)
(1)
aを実数の定数とする.複素数zをみたしながら動くとき,複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか.ただし,に共役な複素数を表す.
(宮城教育大2005年.[当教材では選択問題に変更])
円になる
(中心) (半径)
(2)
複素数zをみたしながら動くとき
(i) 複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか.
(ii) 複素数平面上での表す点はどのような図形をえがくか.ただし,z≠−3とする.
(宮城教育大2005年.[当教材では選択問題に変更])
(i) 2定点からの距離の比が一定(≠1)である動点の軌跡はアポロニウスの円になる.
(中心) (半径)
ii)
(3)
iを虚数単位とする.複素数zが等式|iz+3|=|2z−6|を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) この等式を満たす点z全体は,どのような図形を表すか答えよ.
(秋田大2016年.[当教材では選択問題に変更])


【要点】
(1) 複素数が実数であるための条件は

(2) 複素数が純虚数であるための条件は

(解説)
(ただし,は実数)とおくと

(1)
が実数ならば
だから
が成り立つ.

逆に,ならば
だから

となって
は実数になる.
(2)
が純虚数ならば
だから
が成り立つ.
ただし,原点0は虚軸上にもあるが実数として扱うので,純虚数といえるためにはでなければならない.
逆に,ならば



だからになる.

【例題3.1】
複素数平面上で,が実数となるような点zが描く図形を図示せよ.
(横浜国立大2016年)
(解答)
※一般に複素数の多項式や分数式の共役複素数は,各々の複素数を共役複素数に入れ換えた多項式や分数式に等しい.


この公式は教科書や参考書に通常書かれているので,入試の答案を書くときに黙って使ってもよい.

が実数となる条件は
…(i)
…(ii)
(ii)より


両辺をi(≠0)で割ると

両辺を1+i(≠0)で割ると






両辺を1−i(≠0)で割ると





したがって
を中心とする半径の円(ただし,(i)により原点を除く)
(別解)
入試会場では,ほとんどの受験生は上記のように計算する他ないと思われるが,このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である.複素数の偏角を考えると,もっと少ない計算量でできる.
の偏角は
これにを掛けると
実数(偏角が0またはπ)になるのだから,の偏角は
または
の偏角は,αからβまでの角
ところで,動径からに向かう角が一定の場合,中学校で習う円周角の定理の逆で,点は同一円周上にある.
の偏角がのときは,図のように優弧(長い方の弧)の上にあり,のときは劣弧(短い方の弧)の上にある.
だから,この弧は1つの円としてつながっている.
【例題3.2】
異なる複素数α, βに対して,が純虚数となるようなzは,複素数平面上でどのような図形を描くか.
(和歌山県立医大2016年)
(解答)
が純虚数となる条件は
…(i)
…(ii)
が定義されるためにはz≠β,また(i)よりz≠α…(*1)
(ii)より














したがって
α,βの中点を中心とする半径の円…(*2)
(*2)より,α,βを直径の両端とする円(ただし,(*)よりα,βを除く)…(答)
の偏角は,αからβまでの角
(別解)
このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である.複素数の偏角を考えると,もっと少ない計算量でできる.

中学校で習う円周角の定理の逆(円周角が直角ならば弦は直径になる)を考える.

からに向かう角がになるときは(上側の)半円になり,になるときは(下側の)半円になるから,全体ではα,βを直径の両端とする円になる.ただし(*1)によりα,βは除く.

【問題3】 選択肢の中から正しい答を選んでください.(クリックする.)
読者の操作性を考えて選択問題にしていますが,計算用紙などを使って十分考えてから選んでください.まぐれ当たりでは力は付きません
(1)
2つの複素数w, zを満たしているとする.ただし,iは虚数単位とする.
(1) 複素数平面上で,点zが原点を中心とする半径2の円周上を動くとき,点wはどのような図形を描くか.ただし,z≠2とする.
(2) 複素数平面上で点zが虚軸上を動くとき,点wはどのような図形を描くか.
(3) 複素数平面上で点wが実軸上を動くとき,点zはどのような図形を描くか.
(弘前大2016年.[当教材では選択問題に変更])
(1) (2) (3)

(1) |z−α|+|z−β|の最小値
(2) |z−α|2+|z−β|2の最小値
(1)
中学校の図形の単元で学んだように,右図のような地形でA地点からB地点まで行くときに,途中の川で水をくんでから行く場合,図のPで示した地点で折れ線になるように行くと,歩いた距離が最短になります.

この場所Pを求めるためには,川の端を表す直線を鏡のように考えて,点Aが鏡に写る像A'からBに直線を引きます.このようにA'から線を引くと,つねにAP=A'Pとなるので,AP+PBの代わりにA'P+PBの最短距離を求めたらよいことになり,それはA'Bが直線になるときに最短になります.
【要点】
指定された直線を経由して2点を折れ線で結ぶとき,その最短経路を求めるには,
「Aの鏡像A'からBに直線を引けばよい.」
【例題4.1】
複素数z|z−1|=|z−i|を満たすとき,|z−2|+|z−4|の最小値を求めてください.
(解答)
|z−1|=|z−i|を満たす点は2点1, iを結ぶ線分の垂直二等分線になる.(右図の青で示した直線)
このとき,|z−2|+|z−4|は図のAP+PBの折れ線の長さになるから,青で示した直線に対するAの鏡像A'(2i)とBを結ぶ線分A'Bが最小値になる.

(式で書けないのか?)
|z−1|=|z−i|を満たす点は|z−2|=|z−2i|を満たす.(2乗してみると分かる)
このとき,
|z−2|+|z−4|=|z−2i|+|z−4|
=|2i−z|+|z−4|
2i, z, 4が直線上に並ぶとき最小となる
≧|2i−z+z−4|=|2i−4|=
(2)
【中線定理】(またはパップスの定理)

ABCにおいてBCの中点をMとおくとき,
AB2+AC2=2(AM2+BM2)
が成り立つ.
(解説)
この定理は余弦定理,座標幾何,ベクトルなどの分野で多くの教科書・参考書に登場する.基本公式とは言えないが,「中線定理により」と断り書きを書けば結果を利用してもよいでしょう
≪余弦定理を用いた証明≫
AB2=AM2+BM2−2AM·BMcos∠AMB…(*1)
AC2=AM2+CM2−2AM·CMcos∠AMC
ここでBM=CM, ∠AMB+∠AMC=πだから
AC2=AM2+CM2+2AM·BMcos∠AMB…(*2)
(*1)(*2)を辺々加えると求める定理が得られる.

≪複素数を用いた証明≫
長さの関係は平行移動や回転移動によって変化しないので,Mを原点に移動し,BCx軸上に来るように回転したもので証明する.
このときA(α), B(−β), C(β)とおける.
AB2+AC2=|α+β|2+|α−β|2




=2(AM2+BM2)
Aが動点でB, Cが定点であるとき,中線定理を用いると,AB2+AC2の最小値を求める代わりに,定数BMと1つの動径AMの長さで計算できるので,
AMが最短になるときにAB2+AC2が最小になる
といえる.
【例題4.2】
複素数z|z−1|=|z−i|を満たすとき,|z−2|2+|z−4|2の最小値を求めてください.
(解答)
P(z)は原点を通り傾き45°の直線上にある.
PABにおいてABの中点をM(3)とおくとき,中線定理により
PA2+PB2=2(PM2+BM2)
が成り立つ.
ここで,BM2=1は定数だから
PA2+PB2PMが最短のとき,すなわちこの直線と垂直になるとき最小になる.
このときPM3, 3iの長さの半分だから


(中線定理を覚えていないとき:計算でするには)






|z−3|が最短のときにこの式は最小値をとる.
以下,図を描いて求めるには上記の答案と同じ.

【問題4】 選択肢の中から正しい答を選んでください.(クリックする.)
読者の操作性を考えて選択問題にしていますが,計算用紙などを使って十分考えてから選んでください.まぐれ当たりでは力は付きません
zを複素数平面上の点とする.
(1) |z−4|2+|z−6i|2−2|z−2−3i|2の値を求めよ.
(2) zが点−1−iを中心とする半径1の円上を動くとき,|z−2−3i|の最大値を求めよ.
(3) zが点−1−iを中心とする半径1の円上を動くとき,|z−4|2+|z−6i|2の最大値を求めよ.

(大同工業大2005年.[当教材では選択問題に変更])
(1)
5 6 13 26 49 98
(2)
5 6 13 26 49 98
(3)
5 6 13 26 49 98

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