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== 2直線の平行条件・垂直条件 ==
【2直線の平行条件】
 複素数平面上に4点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき,AB//CDとなるための条件は
z4−z3=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること.
k>0のときは同じ向きに平行
k<0のときは逆向きに平行
(解説)
--図1--
 図1において,ABを引き延ばして(または縮めて)CDを重なれば,AB//CDとなります.
 また,AB//CDならば,このような実数kが必ず定まります.
=(実数)と考えてもよい.
【3点が1直線上にあるための条件】
 複素数平面上に3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき,これらの3点が1直線上にあるための条件は
z3−z1=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること.
0<k<1のときはA,C,Bの順に並ぶ
k>1のときはA,B,Cの順に並ぶ
k<0のときはC,A,Bの順に並ぶ
(解説)
--図2--
 図2の通り
 なお,赤で示したようにABを引き延ばして(または縮めて)ACに重ならなければ1直線上になく,1直線上になければABを引き延ばして(または縮めて)ACに重ならない.
=(実数)と考えてもよい.
【例1】
複素数平面上の4点A(−1+i), B(1+4i), C(3+3i), D(1+yi)について,AB//CDとなるように,実数yの値を定めてください.
(解答)
AB : 2+3i , CD : −2+(y−3)iだから
AB//CDとなるためには
2+3i=k{ −2+(y−3)i }
となることが条件となる.
2=−2k , 3=k(y−3)
より
y=0 (k=−1)…(答)
【例2】
複素数平面上の3点A(1+3i), B(i), C(x−i)が1直線上にあるように,実数xの値を定めてください.
(解答)
AB : −1−2i , CD : (x−1)−4iだから
(x−1)−4i=k(−1−2i)
となることが条件となる.
x−1=−k , −4=−2k
より
x=−1 (k=2)…(答)


【2直線の垂直条件】
 複素数平面上に4点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき,AB⊥CDとなるための条件は
z4−z3=ki(z2−z1 )
となる実数kが存在すること.
(解説)
--図3--
AB : z2−z1 , CD : z4−z3だから
i(z2−z1 )
ABを反時計回りに回転したものになる.
したがって,
ア) k>0のときは,反時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する.
イ) k<0のときは,時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する.
 いずれの場合も,
z4−z3=ki(z2−z1 ) kは実数)
となれば,AB⊥CDとなる.
=(純虚数)と考えてもよい.
【例3】
複素数平面上の3点A(i), B(3+2i), C(x)について,AC⊥BCとなるように,実数xの値を定めてください.
(解答)
AC : x−i , BC : (x−3)−2iだから
(x−3)−2i=ki(x−i) kは実数)
となることが条件となる.
x−3=k , −2=kx
−2=(x−3)x
x2−3x+2=0
(x−1)(x−2)=0
x=1, 2
より
x=1, 2 (k=−2, −1)…(答)
【例4】
複素数平面上の3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について,
z3−z1=(1+i)(z2−z1)
が成り立つとき,AB⊥BCとなることを示してください.
(解答)
BC : z3−z2
に,z3=(1+i)(z2−z1 )+z1=(1+i)z2−iz1
を代入すると
z3−z2=(1+i)z2−iz1−z2
=iz2−iz1=i(z2−z1 )
となるから
AB : z2−z1 を90°回転したものがBC : z3−z2になる.


【問題】
(1)複素数平面上の4点A(−1+2i) , B(1+3i) , C(1+2i) , D(2)について,次のうちで正しいものを選んでください.


AB//CD AB⊥CD AC//BD AC⊥BD
(2)複素数平面上の4点A(1+i) , B(−1+4i) , C(−2+3i) , D(2+yi)について,AB//CDとなるように実数yの値を定めてください.


y=−3 y=−2 y=2 y=3
(3)複素数平面上の4点A(1+i) , B(−1+4i) , C(−2+3i) , D(x+5i)について,AB⊥CDとなるように実数xの値を定めてください.


x=−2 x=−1 x=1 x=2


(4)3点A(−1+3i) , B(4−2i) , C(x+2i)が1直線上にあるように実数xの値を定めてください.


x=0 x=1 x=2 x=3
(5)複素数平面上の3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について,
z3−z1=(1+i)(z2−z1)
が成り立つとき,次のうち正しいものを選んでください.


3点A,B,Cは1直線上にある

AB⊥BC AC⊥CB BA⊥AC
(6)複素数平面上の3点A(−2+2i), B(4+4i), C(x)について,ABを直径の両端とする円周上に点Cがくるように実数xの値を定めてください.


x=0, 1 x=0, 2 x=1, 2 x=1, 3

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