■二項定理,多項定理

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【要点】
○ 二項定理
 (a+b)n を展開したとき,
  • an−rbr の係数は nCr になる.
    nCr二項係数という.)
  • すなわち,一般項は nCran−rbr になる.(r=0n
  • 展開式を全部書くと
    (a+b)n=nC0an+nC1an−1b+nC2an−2b2 + ···
    + nCkan−kbk + ··· + nCn−1abn−1+nCnbn


  • 展開式をシグマ記号を用いて書くと

    (a+b)n= nCkan−kbk

    (※Σについては 初心者向き解説, 問題練習, Σの変形 参照.ただし,Σ記号が分からなくても,以下の解説は理解できる.)

(a+b)7 を展開したとき,
  • a5b2 の係数は 7C2==21 になる.
  • 一般項は 7Cra7−rbr

  • 展開式を全部書くと
    (a+b)7=7C0a7+7C1a6b+7C2a5b2+7C3a4b3
    +7C4a3b4+7C5a2b5+7C6ab6+7C7b7
    =a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7


  • 展開式をシグマ記号を用いて書くと

    (a+b)7= 7Cka7−kbk

※ (第一印象で悩みそうな箇所) なぜ an−rbr の係数を求めるのか? なぜ arbn−r にしないのか? → nCr=nCn−r が成り立つので,どちらで考えてもよいが,多くの教科書や参考書では,左に書いた形(b の係数が増える順)に書いてあります.
○ 多項定理
 (a+b+c)n を展開したとき,
  • apbqcr の係数は になる.
    (ただし,p+q+r=n , 0p,q,rn
  • すなわち,一般項は apbqcr になる.
    (ただし,p+q+r=n , 0p,q,rn
  • 展開式は

    (a+b+c)n= .apbqcr


    (このΣ記号は,条件に合うものを全部加えることを示す.)

 (a+b+c)6 を展開したとき,
  • a3b2c の係数は になる.

  • 一般項は apbqcr になる.
    (ただし,p+q+r=6 , 0p,q,r6

  • 展開式は
    (a+b+c)6
    =a6+a5b+a5c+a4bc+···
    +apbqcr+···+c6


  • 展開式をΣ記号で表わすと

    (a+b+c)6= .apbqcr


【解説】二項定理
 通常,式の展開は次のような順序で,「総当たりで」掛けると考えることが多いが,二項定理,多項定理の解説はこの方法では分かりにくいので,「代表選手の選び方」で解説してみる.  
 右図のように各々の( )からどちらか1つの項 a , b を選んで取り出し,合計 2 個からなる文字の組を考える.



○「同じものがあるときの順列」で考える方法
 (a+b)n を展開したときの an−rbr の係数を考える.
 各々の( )からどちらか1つの項 a , b を選んで取り出し,合計 n 個からなる文字の組を考える.
 できた組を全部足したものが展開式になるが,例えば ababb , bbaab などは同類項で a2b3 になり,それらが「出てきた回数」が a2b3 の係数になる.
 そこで,abb···ab など n 個の文字のうち,an−r 個,br 個ある順列を並べ替えてできる順列の総数を数える.
 全部異なるものが n 個あるときは,並べ替えてできる順列は n! 個あるが,a は同じものなので,その内部交換でできる (n−r)! 通りは別のものができないから, n! 個とすると (n−r)! 倍だけ数え過ぎで,正しくは 通り.
 同様にして,b も同じものなので,その内部交換でできる r! 通りは別のものができないから,上のように 通りとすると r! 倍だけ数え過ぎで,正しくは 通り.
 結局,an−r 個,br 個,それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abb···ab を並べ替えてできる順列の総数は,

通りだから,上のように代表の組を作るとan−rbr 回登場する.
 これらの同類項をまとめると,係数は になる.
(■→続く■)
(■→続き■)
例えば (a+b)5 を展開するとき,左図のような選び方をすると,abbab という項が1つできる.これは,a2b3 になる.
 しかし,a2b3 になるのはこれだけではないa2b3 になるものを全部並べると,次のようになる.
aabbb , ababb
abbab , abbba
baabb , babab
babba , bbaab
bbaba , bbbaa
 ところで,a2b3 が 10個あるから,これらを加えたとき,係数は 10 になり,10a2b3 となる.
○ 組合せで考える方法
 「同じものがあるときの順列の総数」は,組合せに直して求めることができる.
 an−r 個,br 個,それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abb···ab を並べ替えてできる順列の総数を,図のように1〜nのn個の番号札をあらかじめ用意しておき,b の行き先の番号札をもらう方法で考える.
a の行き先の番号札を n−r 個もらうと考えてもよい.)
 上の図のように,2,3,・・・,nの札をもらったとき,その場所に b が入ると決めておく( a の場所は,自動的に決まり,残りの n−r 個の場所となる.)と,b の行き先 r 個の番号札のもらい方が並べ方の総数に等しく,nCr すなわち 通りになる.

 an−rbr 回登場するから,

これらを同類項をまとめると,係数は になる.
【解説】多項定理
 二項定理のときと同様に「同じものがあるときの順列」で考えると
(a+b+c)n を展開したとき,apbqcr が登場する回数は,
 ap 個,bq 個,cr 個それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abbc···ab を並べ替えてできる順列の総数になり,
通り
 apbqcr を同類項としてまとめると,その係数は

○ 組合せで考える方法
 多項定理は,最近の高校の教科書では,組合せを2段階適用して解説されている.
 1〜nまで合計n個の番号札をあらかじめ用意しておき,文字 a の行き先 p 個,文字 b の行き先 q 個,文字 c の行き先 r 個をもらう方法を数えると,
a の札のもらい方は nCp 通り,
その各々について,残り n−p 枚の番号札のうち b の札のもらい方は n−pCq 通り,
(残りは自動的に c の札となる.)
 もらい方の総数は,nCp×n−pCq=
=

 ここで,n−p−q=r であるから,

に等しい.

■例題1(二項定理)
 (1) (2x−3)5 の展開式における x2 の係数を求めよ.
■解説
(1) 一般項は 5Cr(2x)5−r(- 3)r=25−r(- 3)rx5−r

 x2 となるのは,r=3 のとき.
 このとき係数は,22(- 3)3=−1080

 ※ この種の問題で,展開式を全部書くのは無駄が多いので,必要な項だけを書けばよい.
 ※ 文字の部分も付けて「一般項は」と書き始めるとうまくいく.
【重要】  二項定理の公式:
nCran−rbr
において,an−r , br については
○「係数も何乗かする」ことが重要 … 係数何乗×nCr が係数になる
○ 負の数を奇数乗すると負の数になる.
 (2) (2x2)7 の展開式における x2 の係数を求めよ.
(2) 一般項は 7Cr(2x2)7−r(- )r
. =27−r(−)rx14−3r
 (右の囲み欄→)

 x2 となるのは,14−3r=2 より,r=4のとき.

 このとき係数は,23(- )4=

(数IIで習う指数法則)
 一般に
=xn−m
が成り立つ.

上の問題では,=x14−3r と変形するとよい.
■問題1 次の空欄を埋めよ.  [採点する] [やり直す]
(1) (3a−2b)5 の展開式における a2b3 の係数を求めよ.
 
(2) (x2)4 の展開式における x2 の係数を求めよ.
 
(3) (2x2)6 の展開式における定数項を求めよ.


 
■問題2 次の空欄を埋めよ.  [採点する] [やり直す]
(1) (2x−3y+z)5 の展開式における xy3z の係数を求めよ.
 
(2) (x2+x+2)5 の展開式における x5 の係数を求めよ.
 
(3) (x2+x−)6 の展開式における x3 の係数を求めよ.
 
■二項係数の性質 (※ 発展的な内容)
【主な公式】
nC0+nC1+nC2+···+nCk+···+nCn=2n ··· (1)

nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···=2n−1 ··· (2)

nC1+2nC2+3nC3+···+knCk+···+nnCn=n·2n−1 ··· (3)

2·1·nC1+3·2·nC2+4·3·nC3+···+n(n−1)nCn=n(n−1)2n−1 ··· (4)

12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn=n(n+1)2n−2 ··· (5)

nC0 +nC1 +nC2 +··· +nCk +··· +nCn= ··· (6)

nC02+nC12+nC22+···+nCk2+···+nCn2= ··· (7)
※ 高校ではこれらの公式を覚える必要はない.必要に応じて作ればよい.微分・積分を利用する証明が簡単である.(母関数 f(x)=(1+x)n から次々に導かれる.)

二項定理により,
f(x)=(1+x)n=nC0+nC1x+nC2x2+···+nCkxk+···+nCnxn とおく
x=1 を代入すると,
f(1)=2n=nC0+nC1+nC2+···+nCk+···+nCn → (1)

x=−1 を代入すると,
f(−1)=0=nC0nC1+nC2−···+(−1)knCk+···+(−1)nnCn
したがって,nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···
ところで(1)により,両辺の和は 2n だから,
nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···=2n−1 → (2)
f(x)x で微分すると
f ’(x)=n(1+x)n−1=nC1+2nC2x+···+knCkxk−1+···+nnCnxn−1
x=1 を代入すると,
f ’(1)=n·2n−1=nC1+2nC2+···+knCk+···+nnCn → (3)

f ’(x)x で微分すると
f ”(x)=n(n−1)(1+x)n−2 =2·1·nC2+3·2·nC3x1+···+k·(k−1)·nCkxk−2+···+n·(n−1)·nCnxn−2
x=1 を代入すると,
f ”(x)=n(n−1)·2n−2 =2·1·nC2+3·2·nC3+···+k·(k−1)·nCk+···+n·(n−1)·nCn → (4)

 上の(4)のように単純に微分すれば x の次数が下がるため,k−1 が掛けられることになるが,両辺に x を掛けてから微分すると k を掛けることができる.
xf ’(x)=nx(1+x)n−1=nC1x+2nC2x2+···+knCkxk+···+nnCnxn
両辺を x で微分すると
n(1+x)n−1+n(n−1)x(1+x)n−2 =12nC1+22nC2x+32nC3x2+···+k2nCkxk−1+···+n2nCnxn−1
x=1 を代入すると,
n·2n−1+n(n−1)·2n−2 =12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn
n(n+1)·2n−2 =12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn → (5)

xkdx=xk+1= に注意して,区間 0x1f(x) の定積分を求めると,

(1+x)ndx= nC0dx+nC1 xdx+nC2 x2dx+···+nCk xkdx+···+nCn xndx

左辺==

右辺=nC0 +nC1 +nC2 +··· +nCk +··· +nCn → (6)

 (1+x)2n(1+x)n(x+1)n に分けて,各々 xn の係数を求めて比較する.
 (1+x)2n の展開式における xn の係数は,2nCn= …(A)

(1+x)n=nC0+nC1x+nC2x2+···+nCkxk+···+nCnxn
(x+1)n=nC0xn+nC1xn−1+nC2xn−2+···+nCkxn−k+···+nCn
(1+x)n(x+1)n において,この式で上下に対応する項を掛けたときだけ xn となるから,その係数は
nC02+nC12+nC22+···+nCk2+···+nCn2 …(B)

(A)(B)は等しい. → (7)
.