■定積分(多項式,分数関数,無理関数)
■定積分と不定積分の関係
f(x)dx=F(x)+C
のとき
f(x)dx=F(x)=F(b)−F(a)
※原始関数F(x)には定数Cの差がある(不定である)が,定積分の計算では
F(x)+C=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)
のように定数項Cを付けて計算しても,引き算で消えてしまう.
 そこで,定積分を求めるときは,計算が最も楽になるようにC=0とする.
⇒ 定積分の計算では,原始関数の内でC=0の場合を使う

■1. 多項式,分数関数,無理関数
…不定積分の公式のまとめ
αが実数で,−1以外のとき
xαdx=+C…(1.1)
(ax+b)αdx=+C (a≠0)…(1.2)
α=−1のとき
x−1dx=log|x|+C…(1.3)
(ax+b)−1dx=log|ax+b|+C (a≠0)…(1.4)
※この頁は,多項式,分数関数,無理関数の不定積分と置換積分,部分積分の知識を前提とした総合練習になっています.以上のいずれかの内容をまだ学んでいない方は,その項目を先にやってください.
【例1】
(1.1)→
dx=xdx== x
=−0=
【例2】
(1.1)→
dx=xdx== 3x
=3−3
【例3】
(1.2)→
(2x+3)4dx== (55−15)=
【例4】
(1.4)→
==
次の定積分の値を求めてください.
※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
 なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です.
【問題1】
.dx
1 2
3+2log2 4+2log2

【問題2】
. (+1)dx
1 2 3 4

【問題3】
.
1log5 2
3 4

【問題4】
.
1 2 3 4

【問題5】
.
1(+1) 2(−1)
3(+1) 4(−1)

【問題6】
.xdx
1 2
3 4

≪補足問題と答≫
■部分分数分解を使う問題
  問題
(1) log
(2) log2
(3) log10
(4) dx log2
(解説)
(1)←
()dx=log|x−1|−log|x|
=log||=log||−log||
=log|×|=log
=
とおいて,両辺の係数を比較する.
右辺を通分すると,分子は
A(x+3)−B(x−2)=(A−B)x+(3A+2B) これが,左辺の分子1と一致するためには
A=B=
(2)←
()dx
=log|x−2|−log|x+3|
=log||
=(loglog)=log(×)
=log=−log16=−log2
(3)←
()dx
=
とおいて,両辺の係数を比較すると
A=B=
=log|x−3|−log|x+3|
=log||
=(loglog2)=log(×)
=log=−log10
=+
とおいて,両辺の係数を比較する.
右辺を通分すると,分子は
A(x+1)+B(x−4)
=(A+B)x+(A−4B)
これが,左辺の分子x−1と一致するためには
A+B=1, A−4B=−1
A= , B=
したがって
=+
(4)←
(+)dx
=log|x−4|+log|x+1|
=(log1+log4)
.−(log4+log1)
=log4−log4
=−log4=−log2
■分母の2次式が実係数で因数分解できない(判別式が負)場合 ⇒ 分母を平方完成して置換積分を行う問題
  問題
(1)
(2) π
(3) dx 3−
(解説)
(1)←
x=2tanθとおくと
=
x−22
θ
=
ここで,(tan2θ+1)cos2θ=1だから
dθ=θ
={ −(−) }==

(2)←
x=tanθとおくと
=
x0
θ0
=
ここで,(tan2θ+1)cos2θ=1だから
dθ=θ
==π

(3)←
 被積分関数の分子の次数が分母の次数よりも大きい,または等しい場合は,積分計算の前処理として,割り算を行って分子の次数を下げるのが基本.
 そこで,(x2−9)÷(x2+9)=1…−18により
x=3tanθとおくと
=
x3
θ

(*1) =3tanθとなるのは
tanθ=→θ=
(*2) 3=3tanθとなるのは
tanθ=1→θ=
=1−
と変形しておく.
(1−)dx
= dx−18.dx
(第1項)=x=3−
(第2項)は右の置換積分により
−18
=−6θ=−6( )
=−6=−
(原式)=3−
■分母の有理化を行う問題
  問題
(1) (7+2−3)
(2)
(解説)
(1)←

=dx
=dx
=(+)dx
= (x+3)+(x+1)
= (x+3)+(x+1)
=(7+2−3)
(2)←

=dx
=dx
=()dx
= (x+2)x
= (x+2)−x
=(8−4)
=tの置換積分を行う問題
  問題
(1) (x+2)dx
(2) (x−1) dx −1
(解説)
(1)←
=tとおくと
2x+1=t2 , x= , =t
x04
t13
(x+2)dx
=( +2) t t dt
=( t4+3t2)dt ... =


(2)←
=tとおくと
x+1=t3 , x=t3−1 , =3t2
x−10
t01
(x−1) dx
= (t3−2) t 3t2 dt
=3 (t 6−2t3)dt ... =−
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