| ○ 恒等式とは 文字を含む等式（＝がついている式）は，大きく分けて２種類ある． (1) １つは， 2x - 10=0 …(A) x2 - 5x+6=0 …(B) のように，特定の x の値についてのみ成立し，他の x の値については成立しないもので，方程式と呼ばれている． (2) もう１つは， 2x+3=2(x+2) - 1 …(C) (x+3)2=x2+6x+9 …(D) のように，どんな x の値についても成立するもので，恒等式と呼ばれている． 展開や因数分解など，式の変形で得られる等式は恒等式である． 恒等式の例 3(x+5)=3x+15 (x - 1)2=x2 - 2x+1 |
左の(A) の解は，x=5 で，この方程式が成立する x の値はただ１つである．
一般に，１次方程式の解は多くとも1個である．（解が存在しないときを０個と数えると，0個または1個になる．）左の(B) の解は，x=2 , 3 で，この方程式が成立する x の値は２つである． 一般に，２次方程式の解は多くとも2個である．（解が存在しないときを０個と数え，重解を１個と数えると，２次方程式の解は，0個，1個または2個になる．） |
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（次の定理は当然の話のように見えるが，この定理を覚えていないと実際に問題を解くときに困る．）
(1)は(1)’の特別な場合に過ぎない．すなわち，(1)’において a’=b’=0 とした場合が(1)で，(1)’：一般，(1)：特別の関係にある．したがって，(1)’が成立すれば(1)が成立するのは当然である．【 恒等式となるための条件Ｉ 】（係数比較法に使う） 
a,b,c,… が定数のとき(1) ax+b=0 が恒等式 ⇔ a=b=0 (2) ax2+bx+c=0 が恒等式 ⇔ a=b=c=0 (3) ax3+bx2+c+d=0 が恒等式 ⇔ a=b=c=d=0 
(1)’ ax+b=a’x+b’ が恒等式 ⇔ a=a’ , b=b’(2)’ ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ が恒等式 ⇔ a=a’ , b=b’ , c=c’ (3)’ ax3+bx2+cx+d=a’x3+b’x2+c’x+d’ が恒等式 ⇔ a=a’ , b=b’ , c=c’ , d=d’ ここでは，(1)：特別から(1)’：一般が証明できる点，すなわち，特別な場合が一般の場合と同値になっている点が興味深い． |
例 (1) (a - 1)x+(b - 2)=0 が恒等式 ⇔ a - 1=0 , b - 2=0 ⇔ a=1 ,b=2 (1)’ 3x+b=cx - 2 が恒等式 ⇔ c=3 , b= - 2 （左の定理の証明） (1) [←] は明らか． [→]は次のようにして示される． どんな x についても成立するならば，x=0 , 1 のときも成立する．（必要条件）  x=0 のとき 0a+b=0 ⇔ b=0 …(A) x=1 のとき a+b=0 …(B) (A)(B)より，a=b=0 (2)(3)も同様にして示される． (1)’ [←] は明らか． [→]は次のようにして示される． ax+b=a’x+b’ ならば (a - a’)x+(b - b’)=0 ここで(1)の結果より，a - a’= 0 , b - b’=0 が成り立つから，a=a’ , b=b’ (2)’(3)’ も同様にして示される． |
| 例題１ 3x2+ax+4=bx2 - 2x+c が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ． （答案） 両辺の係数を比較すると a= - 2 ,b=3 , c=4 …（答） 次のようにやってもよい． 3x2+ax+4=bx2 - 2x+c より (3 - b)x2+(a+2)x+(4 - c)=0 3 - b=0 , a+2=0 , 4 - c=0 より a= - 2 ,b=3 , c=4 …（答） ※ 係数比較法の定理(3)と(3)’は同値なので，どちらで解いてもよい．移項して解く方法は(3)を使っていることになるが，どちらと意識することなく，やりやすい所で係数比較に移ればよい． |
例題２
a(x+1)2+b(x+1)+c=2x+1 が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ． （答案） （左辺）=a(x2+2x+1)+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c) だから，係数を比較すると
a=02a+b=0 a+b+c=0 これより，a=0 ,b=2 , c= - 1 …（答） |
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【 恒等式となるための条件IＩ 】（数値代入法に使う）
○ ｎ次式の値が異なるｎ+1個の x について等しい ⇔ x の恒等式 例 異なる2個の x について，１次式 ax+b=0 が成り立つ ⇔ ax+b=0 は x の恒等式 …(1) 異なる3個の x について，２次式 ax2+bx+c=0 が成り立つ ⇔ ax2+bx+c=0 は x の恒等式 …(2) ⇔ ax+b=a’x+b’ は x の恒等式 …(1)’ 異なる3個の x について，２次式 ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ が成り立つ ⇔ ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ は x の恒等式 …(2)’ |
※ほとんどの問題は，係数比較法で解ける．ただし，数値代入法を用いる方が簡単になる場合がある． また，恒等式ということが明示されていないときでも，方程式の次数よりも多くの値について成立するときは，実は恒等式であるといえるので，すべての x について成り立つと言える． （左の定理の証明） (1) [←] は明らか． [→]は次のようにして示される． 異なる２つの値 x1≠x2 について，
ax1+b=0 …(A)ax2+b=0 …(B) が成立するとき，(A)-(B) より a(x1 - x2)=0 ここで，x1 - x2≠0 だから a=0 これを(A)に代入すると b=0 （必要条件：つまりこれ以外はないということ．） (1)’ [←] は明らか． [→]は次のようにして示される． 異なる2個の x について，１次式 ax+b=a’x+b’ が成り立つ → (a - a’)x+(b - b’)=0 が成り立つ．(1)から a= a’ , b=b’ が成り立つ． (2),(2)’ など次数の高い式についても同様に示される． |
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例題３ x3=ax(x - 1)(x - 2)+bx(x - 1)+cx+d が恒等式となるように係数 a,b,c,d の値を定めよ． （答案） （係数比較法でもできるが，式の形から x=0,1,2 を代入すると簡単に求まる値があるので，これを利用する．） x=0 を代入すると d=0 x=1 を代入すると 1=c+0 → c=1 x=2 を代入すると 8=2b+2 → b=3 x3 の係数から a=1 |
例題４ ax(x - 1)+b(x - 1)(x - 2)+cx(x - 2)=x が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ． （答案） （係数比較法でもできるが，式の形から x=0,1,2 を代入すると簡単に求まる値があるので，これを利用する．） x=0 を代入すると 2b=0 → b=0 x=1 を代入すると - c=1 → c= - 1 x=2 を代入すると 2a=2 → a=1 |
| ○ 分数式の恒等式 分数式についても恒等式を考える．例えば，次のような問題を考えてみる． + = が恒等式となるように，係数 a,b の値を定めよ． このような問題では，通分して分子について係数比較を行えば多項式についての恒等式のときと同じように解くことができる． すなわち， = より，(a+b)x+(−2a−b)=−x となり a+b=−1 ,−2a−b=0 より a1 , b =−2 が求まる． ※ よく考えれば，分数式は「分母が0となるようなの値については定義されない」ので，「すべての x について成立する」とは言えないのではないかとも考えられるが，
分母が0となる値以外のすべての x について成立するとき，分数式の恒等式という．
（一般に，その式が定義できる範囲で等しければ，恒等式といってよい．類似の事柄は，無理式 を含む恒等式などでも起こり，この場合は根号内が0以上となる値について恒等式であればよい．） |
例題５ + = が恒等式となるように係数 a,b の値を定めよ． （答案） = …(1) 分子を比較すると，a(x+1)+bx=1 …(2) → (a+b)x+a=1 → a+b=0 , a=1 → a=1 , b=−1 （別解）･･･こみ入った話 この問題を数値代入法で解くとき，(1)の段階で x=0 ,−1 を代入するのはダメであるが，(2)の段階で x=0 ,−1 を代入するのはよい． (2)で x=0 を代入すると a=1 (2)で x=−1 を代入すると - b=1 → b=−1 ※ 『「分数式の恒等式は分母が0となる値以外の･･･」という話は，どこへ行ったのか＃』と問われそうだ．結論としてはこれでよいのだが，危ない値（x=0,-1）だけで勝負を済ませてしまうズルさについて，スマートな言い訳の仕方をまだは思いつかない． |
| ○ ２文字以上についての恒等式 ２つ以上の文字があるときに，どの文字についても恒等式であるという条件は，順に考えていけば分かる．
例
ax2+bxy+cy2=0 が x , y についての恒等式であるように，定数 a , b , c の値を定めよ． （答案） まず，x について恒等式だから， 次に，y について恒等式だから |
例題６ (2x+y)a+(x+y)b+(y−2x)=0 が x , y についての恒等式であるように，定数 a , b の値を定めよ． （答案） x(2a+b−2)+y(a+b+1)=0 となるから，  2a+b−2=0a+b+1=0 を解いて，a=3 , b=−4…（答） ※例題７ (2k+1)x+(1−k)y−(k+2)=0 がどんな k の値についても成立するように，x , y の値を定めよ． （答案） （これは１文字 k についての恒等式という問題なので，混同しないこと） k(2x−y−1)+(x+y−2)=0 が k についての恒等式となるには， 2x−y −1=0x+y−2=0 より，x=1 , y=1…（答） |