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【の形の漸化式】
(解説)定数係数の2項間漸化式が
初項
の等比数列になるので,一般項を求めることができます.公比 もし問題が …(1) …(2)
…(2’)
と変形すると,数列は等比数列になるので
≪変形のポイント≫
(2)式を(2’)式に変形するためのポイントは
…(2’)
と変形できます.
一般に,2項間漸化式が
を と係数比較することにより …(2”) で求めることができます.(が前提です)
※初歩的な注意として,次の点を押さえておきましょう.
□ この形の漸化式ではが前提です.のときは,(2”)式においてが求められないことから気付きます. のときは,≪階差形の漸化式≫という別の解き方を使います. □ この形の漸化式について これは,一般によく使われる解き方ですが,「特性方程式」や「その解」が何を表しているのかということを消化不良のまま使ってしまうと,危険な落とし穴にはまってしまう高校生が多いのです. …(2)
では,この方程式は何を解いているのか.
よく分からないままに,とりあえず真似をしてとを両方ともに置き換えたら特性方程式になるのだなと結果だけを覚えてしまうとその解は何を表しているのか.
…(A) →
など,間違い答案がゾロゾロと登場します.(A)(B)(C)はいずれも特性方程式が使える場面でないところで使っています.としてしまう. …(B) → としてしまう. …(C) → としてしまう. (A)はの場合なので,階差形の解き方を考えるべきです.(B)は特性方程式がが定数である場合にだけ使えるのに,その箇所にによって変化する項があるのに使っています.(C)はが定数である場合にだけ特性方程式が使えるのに,その箇所にによって変化する係数があるのに使っています.
2項間漸化式が,,とも定数の場合にしか使えない特性方程式を,適用できない場面で使ってしまうと無意味な答案になります.
ここでは,(2)式を と と係数比較する □ この考え方で行けば,(A)(B)(C)のような問題でも,工夫すれば解けます.
…(A) →
→ は公比の等比数列 → → …(B) → → は公比の等比数列 → → …(C) → → は公比の等比数列 → →
【問題】 …(簡単な再現問題です)
次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください.(** HELPが必要なときは,上記の例と答を見てください **) はじめに左欄の定義式を選び,続いて右欄の一般項を選んでください.やり直すときは,右欄を連打するのでなく,左欄の問題を選び直すことから始めてください. |