漸化式と一般項（階差形）

【 $a_{n+1}=a_n+f(n)$ の形の漸化式】

　２項間漸化式が
. $a_{n+1}=a_n+f(n)$ …(1)
の形で与えられているとき，一般項 $a_n$ は
. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ …(2)
で求めることができます．

（解説）

※この形の２項間漸化式の特徴は $a_n$ の係数が1になっているということです．
すなわち(1)式のように
. $a_{n+1}=$ $1$ $a_n+f(n)$ となっているときに，この公式を適用します．

※ $a_n$ の係数が1でないときは，他の公式です．

　(1)式を $a_{n+1}-a_n=f(n)$ と変形すると，数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の階差数列の第ｎ項
. $b_n=a_{n+1}-a_n$
が
. $b_n=f(n)$
として与えられていることになるから，階差数列から元の数列の一般項を求める公式
. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$

を用いると，一般項が次の形で表されます．
. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$

※初歩的な注意として，次の点を押さえておきましょう．

□　(2)式において，Σ記号の内部では文字nをkに書き換えて使います．したがって，f(n)はf(k)に変わります．

. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$ $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$ $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$

□　(2)式において，Σ記号の上に乗っているのはnではなくn−1です．すなわち，このΣは
.f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1)
を表します．
. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$ $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$

□　(2)式においては階差数列の和だけで元の数列が求まるのではなく，元の数列の第１項も足さなければなりません．

. $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$ $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f( k )$

□　(2)式は，高校数学におけるΣ記号の使い方の約束として，Σ記号で表される式が少なくとも１つの項を含んでいることを前提としています．だから(2)式はn=1の場合を表しません．そこで，答案では次の例のように，途中経過においてn=1の場合と，n≧2の場合を分けて作成しなければなりません．

（ア）　a1=1
（イ）　n≧2のとき
.an=2n−1
したがって，n≧1のときan=2n−1

　運転免許試験で試験官は「左右確認しているかどうか」を主にチェックしているのと同様に，数学の答案で採点官はn=1の場合と，n≧2の場合を分けているかどうかだけを見ているので，最後のまとめを「すべての自然数nについて...」と書いていても，「n≧1のとき...」と書いていても，単に「an=2n−1」と書いていてもほとんど気にしていない．

　ほとんどの場合，結果的にn=1の場合は，n≧2の一般項を「1まで延長した」ものになりますが，そうだからといって「途中経過において分けて求めるという手続きを省略してはいけません．」慣れてくれば，次の例のように別途求めて，結果的に吸収したというスタイルでもよい．

an=2n−1
（n=1のときもこれでよい）

　≪この形の問題と解答≫

番号	問題	解答	途中経過
(1)	$a_1=3$ $a_{n+1}=a_n+2$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=2n+1$	[？]
(2)	$a_1=2$ $a_{n+1}=a_n+3$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=3n-1$	[？]
(3)	$a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+n-2$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=\frac{1}{2}(n-2)(n-3)$	[？]
(4)	$a_1=4$ $a_{n+1}=a_n+2n+3$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=(n+1)^2$	[？]
(5)	$a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+n^2+1$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=\frac{1}{6}n(2n^2-3n+7)$	[？]
(6)	$a_1=2$ $a_{n+1}=a_n+ n^2 + 3n + 2$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$	[？]

(7)	$a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+ n^3$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n$ $=\frac{1}{4}(n^4-2n^3+n^2+4)$	[？]
(8)	$a_1=0$ $a_{n+1}=a_n+ n(n+1)(n+2)$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n$ $=\frac{1}{4}(n-1)n(n+1)(n+2)$	[？]
(9)	$a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+ 2^n$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=2^n-1$	[？]
(10)	$a_1=4$ $a_{n+1}=a_n+ 3\times 2^{n+1}$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=6\times 2^n-11$	[？]
(11)	$a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+ \frac{1}{n(n+1)}$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=2-\frac{1}{n}$	[？]
(12)	$a_1=0$ $a_{n+1}=a_n+ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ のとき数列 $\lbrac a_n \rbrac$ の一般項を求めてください．	$a_n=\frac{n-1}{2n-1}$	[？]

【問題】 …（簡単な再現問題です）
　次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください．（** HELPが必要なときは，上記の例と答を見てください **）
　はじめに左欄の定義式を選び，続いて右欄の一般項を選んでください．やり直すときは，右欄を連打するのでなく，左欄の問題を選び直すことから始めてください．

(1)

$a_1=2$
$a_{n+1}=a_n+3$

(2)