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【このページのテーマ】
このページでは,次のような問題を,平面幾何の定理やベクトル(複素数)を使って解く方法を考えます.
 △ABCにおいて,ABk:lに内分する点をPCAm:nに内分する点をRとし,CPBRの交点をXとする.さらに,AXの延長がBCと交わる点をQとする.
 このとき,BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPは幾らになるか?
【要点1:メネラウスの定理】
(メネラウスはギリシャの数学者,1世紀
 直線l△ABCの3辺AB, BC, CAまたはその延長と,それぞれ,P, Q, Rで交わるとき,次の式が成り立つ.

(公式の見方)
 右図のように,頂点Aからスタートして,交点Pまでの長さを分子(上)とし,次に,交点Pから頂点Bまでの長さを分母(下)とする.以下同様に分数を掛けて行って,頂点Aまで戻ったら,それらの分数の積が1になるという意味
 右の図では,交点Qだけ変な位置にあるように見えるが,1つの直線と3辺AB, BC, CAの交点を考えるとき,少なくとも1つの交点は辺の延長上に来る.
 B:BC→C:CQと見るのではなく,上の定理のようにB:BQ→C:QCと正しく読むには,機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A)
のように,頂点と交点を交互に読めばよい.
【要するに】
分母と分子を逆に覚えても(@BDを分母にしても)結果が1になるのだから,式としては正しい.
通常,「メネラウスの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている.

※証明はこのページ
【要点2:チェバの定理】
(チェバはイタリアの数学者,17世紀
 △ABCの辺上にない1点Oをとり,Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとするとき,次の式が成り立つ.

※チェバの定理の式自体は,メネラウスの定理と全く同じ形になりますが,P, Q, Rの場所が違います.
メネラウスの定理では3点P, Q, Rは1直線上に並びますが,チェバの定理では,それぞれ辺AB, BC, CAにあります.
(公式の見方)
 右図のように,頂点Aからスタートして,交点Pまでの長さを分子(上)とし,次に,交点Pから頂点Bまでの長さを分母(下)とする.以下同様に分数を掛けて行って,頂点Aまで戻ったら,それらの分数の積が1になるという意味
 機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A)
のように,頂点と交点を交互に読めばよいのもメネラウスの定理と同じ.
【要するに】
分母と分子を逆に覚えても(@BDを分母にしても)結果が1になるのだから,式としては正しい.
通常,「チェバの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている.
※チェバの定理は,点O△ABCの外部にある場合にも証明できる.
※証明はこのページ

【要点3:直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】
 右図のような△OABにおいて,辺OA3:2に内分する点をC,辺OB4:5に内分する点をDとするとき,直線ADと直線BCの交点Pの位置ベクトルを求める方法
 Pは直線BC上にあるから

sは1よりも小さな実数,つまりCBを何倍に縮小したらCPになる)
…(1)
また,Pは直線AD上にあるから

tは1よりも小さな実数,つまりDAを何倍に縮小したらDPになる)
…(2)
ADBCの交点Pは(1)(2)の両方を満たす.逆に(1)(2)の両方を満たす点はADBCの交点になる.そこで(1)(2)が成立するような実数s, tを求めるとよい.
…(3)
【ベクトルの1次独立】
一般に,平行でなく零ベクトルでもない2つのベクトル

を満たすなら

が成り立ちます.
ならば,と変形できて,となる.これは平行でないという仮定に反する.よって,
次に,なら,になるが,は零ベクトルでないから
以上により,

を満たすなら

が成り立ちます.

ならば,となるから,上記の結果からがいえます.
(3)より,次の連立方程式を解けばよいことになります.


この連立方程式を解くと,となるから(途中経過は各自確認してください)
これを(1)または(2)[どちらでもよい]に代入すると
…(答)
※この問題を,複素数平面上において直線の交点を求めることにした場合,点A, B, Pを表す複素数を各々α, β, zとおけば,上記とほとんど同じ形で求められます.
【要点4:内分点の公式を2段階に使う方法】
 右図1のように,2点A, Bの位置ベクトルをとすると,線分ABm:nに内分する点Xの位置ベクトルは

になります.
 右図2のように,3点A, B, Cの位置ベクトルをとすると,

で表される点は
ABq:pに内分する点をDとするとき,DCr:(q+p)に内分する点になります. …(1)
BCr:qに内分する点をEとするとき,EAp:(r+q)に内分する点になります. …(2)
CAp:rに内分する点をFとするとき,FBq:(r+p)に内分する点になります. …(3)
 図1とその公式は教科書に載っている基本なので,ここでは証明は省略する.
 図2の式は,次のように変形すると分かります.


r:(q+p)に内分する. →(1)


p:(q+r)に内分する. →(2)


q:(p+r)に内分する. →(3)

【例題1】
 右図の△ABCにおいて,AB2:3に内分する点をPAC5:4に内分する点をRとし,BRCPの交点をXとする.さらに,AXの延長がBCと交わる点をQとする.
 このとき,BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(チェバの定理,メネラウスの定理で解く場合)
■チェバの定理により

だから

BQ:QC=15:8
次に,メネラウスの定理を使って,△ABCの内部の線分の長さの比を求める.
メネラウスの定理では,三角形と交わる直線の長さの比は出てこずに,直線によって分けられる三角形の辺の比が出てくることに注意
右図のように△ABQに直線PXCが交わるとみると,QX:XAの比が分かる
■メネラウスの定理を右図のように使うと

だから

QX:XA=12:23
■メネラウスの定理を右図のように使うと

だから

BX:XR=27:8
■メネラウスの定理を右図のように使うと

だから

PX:XC=3:4
CX:XP=4:3
例題1続き(直線の交点をベクトルや複素数で求める場合)
 右図のように点Aを原点に選んで,とおき,2直線CP, BRの交点Xの位置ベクトルをで表すことを考える.
 XBR上にあるから


…(1)
 XCP上にあるから


…(2)
(1)(2)の両方が成り立つから

は平行でなく,零ベクトルでもないから


この連立方程式を解くと

したがって


また,を代入すると

だから
この変形を覚えておく方がよい



※複素数平面で2直線の交点を求める場合も,ほぼ同様の答案でよい

例題1続き(内分点の公式を2段階に使う場合)
[再掲]
3点A, B, Cの位置ベクトルをとすると,

で表される点は
ABq:pに内分する点をPとするとき,PCr:(q+p)に内分する点になる.
適当な場所に原点をとり,3点A, B, Cの位置ベクトルをとすると,PAB2:3に内分するから

XCPk:lに内分する点とすると

これにより,k, lの比が何であっても,の係数との係数の比は3:2になる.
p:q=3:2…(1)
RAC5:4に内分するから

XBRm:nに内分する点とすると

これにより,m, nの比が何であっても,の係数との係数の比は4:5になる.
p:r=4:5…(2)
(1)(2)より,p:q:rを連比にするために,pの値をそろえると(通分する|最小公倍数にする|同じスケールで表す)
p:q=3:2=12:8…(1)
p:r=4:5=12:15…(2)
p:q:r=12:8:15
…(*)
(*)により

は,CP20:15=4:3に内分する.

は,AQ32:12に内分する.
また,QBC15:8に内分する.

は,BR27:8に内分する.
(全部できなければならない訳ではない.
どの方法を「自分の得意技」にするか:筆者の印象)
■「三辺の内分比」は,チェバの定理を覚えていればできる.「三角形の内部の線分の比」をメネラウスの定理で解くためには,三角形と交わる直線の選び方に頭を使わなければならない.
■ベクトル(または複素数)を使って2直線の交点を求める方法は,考え方は簡単であるが,計算は大変
■内分点を2段階に使う方法は,p:q:rを求めると,全部の比が分かるが,三角形の内部の点は

で表せるということが分かっていなければならないので,その考え方に慣れるまでが大変かもしれない.
このページにも関連事項があります.

【例題2】
 右図の△ABCにおいて,AB1:3に内分する点をPBC1:2に内分する点をQとし,AQCPの交点をXとする.さらに,BXの延長がACと交わる点をRとする.
 このとき,CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
CR:RA=6:1
AX:XQ=1:2
BX:XR=7:2
CX:XP=8:1
【例題3】
 △ABCにおいて,BC3:4に内分する点をQCA2:5に内分する点をRとし,AQBRの交点をXとする.さらに,CXの延長がABと交わる点をPとする.
 このとき,AP:PB, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
AP:PB=10:3
AX:XQ=35:6
BX:XR=21:20
CX:XP=26:15
【例題4】
 △ABCにおいて,BC2:3に内分する点をQAQ2:1に内分する点をXとし,BQの延長とCAの交点をRCXの延長とABの交点をPとする.
 このとき,AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
AP:PB=5:6
CR:RA=4:5
BX:XR=3:2
CX:XP=11:4
【例題5】
 △ABCにおいて,AC4:3に内分する点をRBR5:2に内分する点をXとし,AXの延長とBCの交点をQCXの延長とABの交点をPとする.
 このとき,AP:PB, BQ:QC, AX:XQ, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
AP:PB=14:15
BQ:QC=10:7
AX:XQ=34:15
CX:XP=29:20

【一般に(1)】
 △ABCにおいて,ABk:lに内分する点をPCAm:nに内分する点をRとし,AQBRの交点をXとする.さらに,AXの延長がBCと交わる点をQとする.
 このとき,BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので,共通因数があれば割って答えるものとする.
これは「覚えるような公式ではない!」
必要になってから「作る」のが秘訣
BQ:QC=ln:km
AX:XQ=km+ln:lm
BX:XR=l(m+n):km
CX:XP=(k+l)m:ln
各自で確かめるとよいが,ここでは内分点の公式を2段階に使う方法で解説する.
求めるベクトルを

とおくと
p:q=l:k…(1)

とおくと
p:r=m:n…(2)
(1)(2)から
p:q:r=lm:km:ln…(*)
したがって


により,CX:XP=(k+l)m:ln

により,BX:XR=lm+ln:km

により,AX:XQ=km+ln:lm
また,BQ:QC=ln:km
【一般に(2)】
 △ABCにおいて,BCk:lに内分する点をQAQm:nに内分する点をXとし,BXの延長とCAの交点をRCXの延長とABの交点をPとする.
 このとき,AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください.
(解答)
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので,共通因数があれば割って答えるものとする.
これは「覚えるような公式ではない!」
必要になってから「作る」のが秘訣
AP:PB=lm:(k+l)n
CR:RA=(k+l)n:km
BX:XR=(k+l)n+km:lm
CX:XP=km:(k+l)n+lm
各自で確かめるとよいが,ここではメネラウスの定理,チェバの定理を使って解説する.
△ABQに直線PCが交わっている図において,メネラウスの定理を適用すると



△ABCにチェバの定理を適用すると



△ABRに直線PCが交わっている図において,メネラウスの定理を適用すると



△APCに直線BRが交わっている図において,メネラウスの定理を適用すると



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■[個別の頁からの質問に対する回答][2直線の交点(3通り)について/18.7.15]
【要点3:直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】 において、OCベクトルを2/5aベクトルと書かれてますが、3/5aベクトルの間違いかと思われます。 ご確認おねがいします。
=>[作者]:連絡ありがとう.いかん,いかん,得意の計算間違いでしたので,訂正しました.(こんな調子で,ん十年勤まったとは,どんなゆるい職場?)