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《2次不等式》・・・2次関数のグラフがx軸と2点で交わる場合
解説
○ 初めに2次関数のグラフが谷形になるものについて考えます。
y=ax+bx+cにおいて2次の係数aが正であるとき、グラフは谷形になります。 ⇒ y=ax+bx+c(ただし、a>0)は谷形

○  2次不等式 ax+bx+c<0 (ただし,a>0)は,yの値がax+bx+cの値に等しいグラフ,すなわち y=ax+bx+c (a>0) のグラフを利用して解くことができます.
 y=ax+bx+c (a>0)のグラフでは
ax+bx+cの値はy座標に等しいので,
ax+bx+c<0 となるようなxの値の範囲は
y<0となるようなxの値の範囲となります.(右図の赤で示した部分)


 同様にして
ax+bx+c>0(a>0)
ax+bx+c≦0(a>0)
ax+bx+c≧0(a>0)
 も解けます.
《要約》
 ax+bx+c=0の解がx=α,β(α<β)のとき
ax+bx+c<0(a>0)→α<x<β
ax+bx+c≦0(a>0)→α≦x≦β
♪〜 マイナスは「間」
ax+bx+c>0(a>0)→x<α,β<x
ax+bx+c≧0(a>0)→x≦α,β≦x
♪〜 プラスは「両側」
♪〜 問題に「イコールがある」⇒「答にもイコールを付ける」
y=ax+bx+cとx軸がx=α,βで交わるとき
y<0(すなわちyが負)となるのはα<x<βのときです.
※ここが核心※
 不等式ax+bx+c<0で求めているのはyの値の範囲ではなく、xの値の範囲です。(この式の変数はxだけ)
 ここで2次関数y=ax+bx+cを考えると、右辺は上の不等式の左辺の値となっています。
 したがって、2次関数y=ax+bx+cのyの値は上の不等式の左辺の値になります。
 そこで、2次関数のグラフを利用して、「yの値(符号)が負になる」ような「xの値の範囲」を求めるということです。
[例1]
2次不等式x2−x−12<0を解け。
(答案)
2次方程式x2−x−12=0を解くと
(x+3)(x−4)=0より
x=−3, 4
「2次不等式の問題なのに」問われていない「2次方程式」について演説を始めることが重要
2次関数y=x2−x−12のグラフは
「2次不等式の問題なのに」問われていない「2次関数」を描くことが重要
グラフを描くためには、上で求めたx軸との交点の座標が必要になる・・・この問題を解くためには、頂点の座標などの正確な情報は不要。
グラフから、y<0すなわち
2次不等式x2−x−12<0を満たすxの値の範囲は−3<x<4…(答)
ここでようやく「2次不等式」の話に戻る。
マイナスになるのは「間(サンドイッチ)」が答
[例2]
2次不等式x2−x−120を解け。
(答案)
2次方程式x2−x−12=0を解くと
x=−3, 4
2次関数y=x2−x−12のグラフは
グラフから、y0すなわち
2次不等式x2−x−120を満たすxの値の範囲は
x−3 , 4x…(答)

 論理的に同じ内容を表していれば、次にように書いてもよい。
x−3 , x4
 筆者は、小さいものから大きいものへ左から順に並べていく書き方が「分かりやすく」「間違いにくい」と考える。
 例1と同様に、「不等式の問題を解くためには2次関数のグラフが必要、2次関数のグラフを描くためには2次方程式の解が必要」と考える。
 したがって、問われていなくても「2次方程式」→「2次関数」→「2次不等式」の順に述べることが重要。

プラスになるのは「両側」が答

※ 問題に等号が付いているから、答にも等号を付ける。

よくある#とんでもない答案#
この問題の答を4x−3と書いてはいけない。
4−3よりも小さいということはない。そもそも、4xx−3の両方を満たすようなxはなく、この問題の答となるxは2つの部分に分かれている。)
 一般に、「両側」形の範囲は、α≦x≦βの形にはまとめられない。

問題 グラフを参考にして,2次不等式の解を選びなさい.

(1)
2次不等式 x2−4x+3<0の解は




(2)
2次不等式 x2+5x+6>0の解は




(3)
2次不等式 x2−4≧0の解は




(4)
2次不等式 x2−3x+2≦0の解は




(5)
2次不等式 x2≦9の解は




(6)
2次不等式 x2−x−1≦0の解は




(7)
2次不等式 x2−2>0の解は




(8)
2次不等式 2x2−4x+1≦0の解は





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