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== 2次不等式 ==2次関数のグラフが軸と2点で交わる場合

○ 初めに2次関数のグラフが谷形になるものについて考えます。
において2次の係数が正であるとき、グラフは谷形になります。
⇒ (ただし、)は谷形

○  2次不等式
 (ただし,
は,の値がの値に等しいグラフ,すなわち
 (
のグラフを利用して解くことができます.
のグラフでは
の値は座標に等しいので,

となるようなの値の範囲は

となるようなの値の範囲となります.(図の赤で示した部分)
軸がで交わるとき
(すなわちが負)となるのは

のときです.

※2次不等式の解き方を身に付けるためには,まず第1に,思い込みを捨てることが重要です.

○すなわち,これまでに習った1次不等式の解き方では


のように,問題文の不等号の向きと解の不等号の向きが対応しています.の係数が負の場合は,逆向きになりますが,それでも対応しています.



○これに対して,

のような2次不等式では,問題文の不等号がであるからといって,解の不等号の向きが

となるのではなく,2次関数のグラフからの符号が負になるようなの範囲を探すことになります.

ではの符号が正になるようなの範囲を探すことになります.

※ここが核心※
不等式で求めているのはの値の範囲ではなく、の値の範囲です。(この式の変数はだけ)

ここで2次関数を考えると、右辺は上の不等式の左辺の値となっています。
したがって、2次関数の値は上の不等式の左辺の値になります。

そこで、2次関数のグラフを利用して、「の値(符号)が負になる」ような「の値の範囲」を求めるということです。


 同様にして



も解けます.
《要約》
の解が のとき


問題がなら,
答は
マイナスは「間」

問題がなら,
答は
プラスは「両側」

問題がなら,
答は
マイナスは「間」
等号付き

問題がなら,
答は
プラスは「両側」
等号付き



[例1]
2次不等式x2−x−12<0を解け。
(答案)
2次方程式x2−x−12=0を解くと
(x+3)(x−4)=0より
x=−3, 4
「2次不等式の問題なのに」問われていない「2次方程式」について演説を始めることが重要
2次関数y=x2−x−12のグラフは
「2次不等式の問題なのに」問われていない「2次関数」を描くことが重要
グラフを描くためには、上で求めたx軸との交点の座標が必要になる・・・この問題を解くためには、頂点の座標などの正確な情報は不要。
グラフから、y<0すなわち
2次不等式x2−x−12<0を満たすxの値の範囲は−3<x<4…(答)
ここでようやく「2次不等式」の話に戻る。
マイナスになるのは「間(サンドイッチ)」が答

[例2]
2次不等式x2−x−120を解け。
(答案)
2次方程式x2−x−12=0を解くと
x=−3, 4
2次関数y=x2−x−12のグラフは
グラフから、y0すなわち
2次不等式x2−x−120を満たすxの値の範囲は
x−3 , 4x…(答)

 論理的に同じ内容を表していれば、次にように書いてもよい。
x−3 , x4
 筆者は、小さいものから大きいものへ左から順に並べていく書き方が「分かりやすく」「間違いにくい」と考える。
 例1と同様に、「不等式の問題を解くためには2次関数のグラフが必要、2次関数のグラフを描くためには2次方程式の解が必要」と考える。
 したがって、問われていなくても「2次方程式」→「2次関数」→「2次不等式」の順に述べることが重要。

プラスになるのは「両側」が答

※ 問題に等号が付いているから、答にも等号を付ける。

よくある#とんでもない答案#
この問題の答を4x−3と書いてはいけない。
4−3よりも小さいということはない。そもそも、4xx−3の両方を満たすようなxはなく、この問題の答となるxは2つの部分に分かれている。)
 一般に、「両側」形の範囲は、α≦x≦βの形にはまとめられない。


【問題】
グラフを参考にして,2次不等式の解を選びなさい.
(右から正しい選択肢をクリック)

(1)
2次不等式
x2−4x+3<0 の解は
1<x, 3<x

x<1, x<3

1<x<3

x<1, 3<x
(2)
2次不等式
x2+5x+6>0の解は
−3<x, −2<x

x<−3, x<−2

−3<x<−2

x<−3, −2<x
(3)
2次不等式
x2−4≧0の解は
x≧±2

x≦±2

−2≦x≦2

x≦−2, 2≦x
(4)
2次不等式
x2−3x+2≦0の解は








(5)
2次不等式
x2≦9の解は






(6)
2次不等式
x2−x−1≦0の解は






(7)
2次不等式
x2−2>0の解は






(8)
2次不等式
2x2−4x+1≦0の解は







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■[個別の頁からの質問に対する回答][2次不等式について/17.6.9]
ちょうどいい難易度と、分かりやすい解説でとても迅速に理解できました、ありがとうございました。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次不等式について/16.11.11]
練習問題が付いているのが、素晴らしいですね。理解が深まります。ありがとうございます。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次不等式について/16.10.16]
解説がとてもよくわかります
=>[作者]:連絡ありがとう.