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♪ややむずかしい♪ 問題１ |
0から9までの10種類の数字から異なる4個の組合せを選べば並べ方は決まるが，その中に0が含まれていると先頭に来るから3桁になる．そこで，1から9までの9種類の数字から異なる4個の組合せを選べばよい．
9C4==126 通り |
| 問題２ |
奇数は1,3,5,7,9の５種類あり，これらから重複を許して4個取って並べるとよいから，
5Π4=54=625 通り （特に Π という記号を使わなくてもよい．） |
| 問題３ |
４人の子どもの名前を，重複を許して５回呼ぶとよいから，
4H5=4+5−1C5=8C5=56 通り |
| 問題４ |
x , y , z にそれぞれ１ずつ配っておき，残り2を重複を許して3つに分ければよいから，
3H2=3+2−1C2=4C2=6 通り |
| 問題５ |
（ア） a を3個使うとき aaab → =4 通り aaac → =4 通り （イ） a を2個使うとき aabb → =6 通り aabc → =12 通り （ウ） a を1個使うとき abbc → =12 通り 計 38 通り |
| 問題６ 次の空欄を埋めよ． |
nPr=， n−1Pr−1= だから， nPr=n · n−1Pr−1 nCr=， n−1Cr−1= だから， = nHr=， n+1Hr−1= だから， nHr=n+1Hr−1 |
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○ 順列
※ これらのうち，順列と組合せには，nPr=r! nCr の関係があるが他は簡単な関係にない．
異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる順列の総数（ ただし，0≦r≦n ） nPr= ○ 重複順列 異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる順列の総数（ r は n よりも大きくてもよい． ） nΠr=nr ○ 同じものがあるときの順列 n 個のもののうち， p 個，q 個，r 個，… がそれぞれ同じものであるとき，これらを全部使っていできる順列の総数 （ ただし，p+q+r+ ···= n ） （※ 全部使うときはこの公式で簡単に求まるが，一部だけ使うときはその構成に応じて分けて考えなければならず，かなり複雑になる） ○ 組合せ 異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる組合せの総数（ ただし，0≦r≦n ） nCr= ○ 重複組合せ 異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる組合せの総数（ r は n よりも大きくてもよい． ） nHr=n+r−1Cr |
例 各位の数が異なる２桁の整数の総数 （解答） 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる２つを取って並べる順列 10P2=10·9=90 のうち，先頭が0のもの（9個）は１桁になるから，90-9=81個 （別解） 十の位は0以外の9通り，それぞれ1の位は9通りだから，9×9=81通り 例 ２桁の整数の総数 （解答） 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して２つを取って並べる順列 10Π2=102=100 のうち，先頭が0のもの（10個）は１桁になるから，100-10=90個 （別解） 十の位は0以外の9通り，それぞれ1の位は10通りだから90通り 例 aaaabbbcc を並べ替えてできる順列の総数 （解答） =1440個 ※このうち8個を使うときは次のような計算になる． aaabbbcc → =560 aaaabbcc → =420 aaaabbbc → =280 計 1260 例 ２桁の整数のうち，87 , 51 のように十の位の数が一の位の数よりも大きなものの総数 （解答） 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる２つを選べば（組合せ）並べ方は決まる（大きい方を前にする）から 10C2=45個 （別解） 十の位が1ならば一の位は0だけだから１通り，十の位が2ならば一の位は0,1の2通り，･･･，十の位が9ならば一の位は0,1,･･･,8の9通り．ゆえに，1+2+3+･･･+9=45通り 例 ２桁の整数のうち，88 , 87 のように一の位の数が十の位の数と等しいか又は小さいものの総数 （解答） 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して２つを選べば並べ方は決まる（大きい方を前にする）： 10H2=10+2−1C2=11C2=55個 ただし，このうち１つは 00 になり２桁とは呼ばないから，55-1=54個 （別解） 異なる場合が45個，等しい場合が（11,22,...,99の）9個あるから45+9=54個 |