■ 順列,組合せ(章末問題)
♪ややむずかしい♪

問題1
 4桁の自然数のうちで 1257 , 2389 のように各位の数が順に大きくなるものは何通りあるか.
通り
問題2
 4桁の自然数のうちで 5139 , 3337 のように各位の数が奇数からなるものは何通りあるか.
通り
問題3
 同質に作られた5個のボールを4人の子どもに分ける方法は何通りあるか.ただし,1個ももらえない子どもがいてもよいとする.
通り
問題4
 x+y+z=5 の正の整数解は何通りあるか.
通り
問題5
 aaabbc の6文字のうち4文字を使ってできる順列の総数を求めよ.
通り
問題6 次の空欄を埋めよ.
________nPr= n−1Pr−1

________=


________nHr= n+1Hr−1
■解説
○ 順列
 異なる n 個のものから,異なる r 個のものを取ってできる順列の総数( ただし,0rn
nPr=


○ 重複順列
 異なる n 個のものから,重複を許して r 個のものを取ってできる順列の総数( rn よりも大きくてもよい.
nΠr=nr



○ 同じものがあるときの順列
 n 個のもののうち, p 個,q 個,r 個,… がそれぞれ同じものであるとき,これらを全部使っていできる順列の総数
ただし,p+q+r+ ···= n



(※ 全部使うときはこの公式で簡単に求まるが,一部だけ使うときはその構成に応じて分けて考えなければならず,かなり複雑になる)
○ 組合せ
 異なる n 個のものから,異なる r 個のものを取ってできる組合せの総数( ただし,0rn
nCr=



○ 重複組合せ
 異なる n 個のものから,重複を許して r 個のものを取ってできる組合せの総数( rn よりも大きくてもよい.
nHr=n+r−1Cr

※ これらのうち,順列と組合せには,nPr=r! nCr の関係があるが他は簡単な関係にない.
 各位の数が異なる2桁の整数の総数
(解答)
 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる2つを取って並べる順列 10P2=10·9=90 のうち,先頭が0のもの(9個)は1桁になるから,90-9=81個
(別解)
 十の位は0以外の9通り,それぞれ1の位は9通りだから,9×9=81通り

 2桁の整数の総数
(解答)
 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して2つを取って並べる順列 10Π2=102=100 のうち,先頭が0のもの(10個)は1桁になるから,100-10=90個
(別解)
 十の位は0以外の9通り,それぞれ1の位は10通りだから90通り

 aaaabbbcc を並べ替えてできる順列の総数
(解答)
 =1440

※このうち8個を使うときは次のような計算になる.
 aaabbbcc=560
 aaaabbcc=420
 aaaabbbc=280
1260
 2桁の整数のうち,87 , 51 のように十の位の数が一の位の数よりも大きなものの総数
(解答)
 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる2つを選べば(組合せ)並べ方は決まる(大きい方を前にする)から 10C2=45
(別解)
 十の位が1ならば一の位は0だけだから1通り,十の位が2ならば一の位は0,1の2通り,・・・,十の位が9ならば一の位は0,1,・・・,8の9通り.ゆえに,1+2+3+・・・+9=45通り

 2桁の整数のうち,88 , 87 のように一の位の数が十の位の数と等しいか又は小さいものの総数
(解答)
 10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して2つを選べば並べ方は決まる(大きい方を前にする): 10H2=10+2−1C2=11C2=55
 ただし,このうち1つは 00 になり2桁とは呼ばないから,55-1=54個 (別解)
 異なる場合が45個,等しい場合が(11,22,...,99の)9個あるから45+9=54個

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