■重積分--積分順序の変更携帯版
【記号】
○ 領域D:*1≦x≦*2, *3≦y≦*4における重積分
.f(x,y)dxdy
*1, *2は定数である場合も,yに依存する場合もある.同様に,*3, *4は定数である場合も,xに依存する場合もある.)
を,まずxについて積分してから,次にyについて積分を行う累次積分(繰り返し積分)として行うことを
.( f(x,y)dx)dy …(1)
で表す.
 (1)式は
.dy f(x,y)dx …(1’)
という記号で表されることもある.この場合において,xについて積分した結果は,一般にはyを含んだ式となっているので,
.dy
の部分は,そのyを含んだ関数の積分という意味になる.
○ 同様にして,
.dx f(x,y)dy …(2’)
は,まずyについて積分して得られる(一般にはxを含んだ関数になる)ものを,次にxで積分したもの
.( f(x,y)dy)dx …(2)
を表す.

例1(2xydy)dxの積分の順序を換えると
.(2xydx)dyになる
≪解説≫
 右図の領域Dにおいて,
(1) 青の縦線で示した線に沿って,はじめにxを固定して,それぞれのxに対して,0≦y≦xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が
.2xydy
(2) 次に,0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式
.(2xydy)dx
が表しているもの.
2xydy=xy2=x3
x3dx=x4=
になる
 積分の順序を変更して,はじめにyを固定して,それぞれのyに対して,xで積分するときは,図のように積分区間の左端がy,右端が1になる.
(1) 赤の横線で示した線に沿って,y≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は
.2xydx
(2) これらを0≦y≦1の区間で変数yで積分すると
.(2xydx)dy
2xydy=x2y=y−y3
(y−y3)dy=y2y4==
になる

※正しい番号をクリックしてください.
問1次のうちでdxx2y dyと等しいものを選んでください.
(出典B)
1dyx2y dx 2dyx2y dx
3dyx2y dx 4dyx2y dx

【元の問題の出典】
(出典A)
「微分積分学U」(共立出版 基礎数学講座7巻/宇野利雄著)
(出典B)
「新編 高専の数学3 問題集」(森北出版/田代嘉宏著)
(出典C)
「理工系基礎 微分積分学」(培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著)
(出典D)
「数学へのアプローチ」(裳華房/八木克已著)

例2dyf(x,y)dxの積分の順序を換えると
.dx f(x,y)dyになる
≪解説≫
 右図の領域Dにおいて,
(1) 赤の横線に沿って,はじめにyを固定して,それぞれのyに対して,y≦x≦の区間で変数xで積分してyを含んだ関数として得られる式が
.f(x,y)dx
(2) 次に,0≦y≦1の区間で変数yで積分するというのが元の式
.dyf(x,y)dx
が表しているもの.
 積分の順序を変更して,
(1) はじめにxを固定して,それぞれのxに対して,yで積分するときは,青の縦線に沿って,x2≦y≦xの区間で変数yで積分して得られる式が
. f(x,y)dy
(2) これらを0≦x≦1の区間で変数xで積分すると
.dx f(x,y)dy

例3dx2x2ydyの積分の順序を換えると
.2x2ydxdy+2x2ydxdyになる
(出典B)
≪解説≫
 右図の領域Dにおいて,
(1) 青の縦線で示した線に沿って,はじめにxを固定して,それぞれのxに対して,x≦y≦2xの区間で変数yで積分してxを含んだ関数として得られる式が
.2x2ydy
(2) 次に,0≦x≦1の区間で変数xで積分するというのが元の式
.dx2x2ydy
が表しているもの.
 積分の順序を変更して,はじめにyを固定して,それぞれのyに対して,xで積分するときは,図のように積分区間の右端がyの値によって変わるので,2つの領域に分けて求める.
(1) 0≦y≦1の区間では,赤の線で示した線に沿って,≦x≦yの区間で変数xで積分して得られる式は
.2x2ydx
 1≦y≦2の区間では,赤の線で示した線に沿って,≦x≦1の区間で変数xで積分して得られる式は
.2x2ydx
(2) これらを0≦y≦2の区間で変数yで積分すると
.2x2ydxdy+2x2ydxdyになる
※(参考)どちらで計算しても,結果はになる
問2a>0のとき,次のうちでdxf(x,y)dyと等しい
ものを選んでください.
(出典A)
1dyf(x,y)dx 2dyf(x,y)dx
3dyf(x,y)dx 4dyf(x,y)dx

問3dx(x2+y2)dyの積分順序を変更すると,
次のどの式になりますか.
1dy(x2+y2)dx 2dy(x2+y2)dx
3dy(x2+y2)dx 4dy(x2+y2)dx

問4(f(x,y)dy)dxの積分順序を変更すると,
次のどの式になりますか.
1(f(x,y)dx)dy 2(f(x,y)dx)dy
3(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy
4(f(x,y)dx)dy+(f(x,y)dx)dy


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