PC用は別頁

== 領域における最大最小 ==
■ はじめに
○ 図1のように,連立不等式 x0 , y0 , y - x+2 で表わされる三角形の領域において,y - x の取りうる値の範囲を求めたいものとする.
図1
○ y - x のままでは,単なる「式」で xy も変るので分かりにくい.
 これを,y - x=k すなわち y=x+k とおくと「方程式」になり「直線」を表わす.
 このように,求めたい式の値を … =k とおき,k の取り得る値の範囲を考えると「図形」に対応させて考えることができる.

■ 1つの直線上では k の値は同じ

○ 例えば,図1のAの直線の方程式は y=x+1 で,k=1 になっている.
 この直線の方程式が y=x+1 だということは,この直線上のどの点でも y=x+1 すなわち y - x=1 が成り立つことを表わしている.
x= - 1, y=0 の点では,0 - ( - 1)=1
x=0, y=1 の点では,1 - 0=1
x=1, y=2 の点では,2 - 1=1
他にも多くの点があるが,直線A上のどの点でも y - x の値が 1 になるのは,この直線上では y - x=1 が成り立つからである.
○ 図1のBの直線の方程式は y=x+2 で,この直線上のどの点でも y - x の値は 2 になる.
x=0, y=2 の点では,2 - 0=2
x=1, y=3 の点では,3 - 1=2
  …
直線B上の点で y - x の値が 2 になるのは,この直線上では y - x=2 が成り立つからである.
○ 連立不等式 x0 , y0 , y - x+2 で表わされる領域は,上の水色の三角形の内部及び周上であるが,この領域内における y - x の最大値と最小値を求めるには次のように考えるとよい.
  y - x=k すなわち y=x+k とおくと,k は直線の切片を表わすから,上に行くほど大きく,下に行くほど小さくなる.
 例えば,直線Cは y=x+3k の値は大きいが,この直線は与えられた三角形の領域を通っていない.
[考え方]
○ 与えられた領域をある直線が通っている ⇔ 領域内でその直線の k の値がとれる.
▼ 与えられた領域をある直線が通っていない ⇔ 領域内でその直線の k の値がとれない.

 上の三角形の領域では,
▼ k=3 の値はとれない.
○ k=2 の値はとれる.(例えば点 (2 , 0) において y - x=2
○ k=1 の値はとれる.(例えば点 (1 , 0) において y - x=1
 ……
○ k= - 2 の値はとれる.(例えば点 (0, - 2) において y - x= - 2
▼ k= - 3 の値はとれない.

このように, y=x+k とおいて k の値を変化させると,直線はエレベーターのように上下し,点 (2 , 0) において最大値 2,点 (0 , 2) において最小値 - 2 となる.

 上の問題では,ある直線 y=x+k が通っている点が1つでもあれば,その k の値は領域内でとれる値となり,通るべき点は2つも3つもいらないことに注意
 実際には,最大値 k=2 となる点は (0, 2) の1点だけであり,最小値 k= - 2 となる点は (2, 0) の1点だけであるが,これで十分
 他方において,-2<k<2 となる点はそれぞれたくさんあるが,ある値がとれるかどうかという問題(最大値・最小値)にとっては,点が幾つあっても答は変らないので,「上の三角形の領域の内部」は最大値・最小値という問題に関係なく,三角形の周上だけで取りうる値はすべて実現されている.
 一般に,求める式の形が y=x+k のように直線図形になっているときは,つねに周上で最大値・最小値をとることが知られている.

[例題1]
  x , y が,不等式 x0 , y0 , y - x+2 を満たすとき,2x - y の最大値と最小値を求めよ.
(1) まず領域を図示する.
(2) 次に,2x - y=k とおいて,幾つか直線を図示してイメージをつかむ.
※ 図のように,k が大きくなると切片が小さくなることもある.
[解答]
_2x - y=k とおく
y=2x+( - k) において切片は - k だから,k が大きくなると切片は小さくなる.
(0 , 2) のとき最小値となり,k=0 - 2= - 2
(2 , 0) のとき最大値となり,k=4 - 0=4 …(答)

※ k の値は,図から切片として求まる場合もあるが,この問題のように (x , y) の座標が先に求まる場合は,代入すれば直ちに求まる(いただき〜♪と考えるべし).
[問題1]
  x , y が,不等式 y0 , yx , x+y2 を満たすとき,y - 2x の最大値と最小値を求めよ.
最大値 ,最小値

採点する やり直す ヘルプ


[例題2]
 x0 , y0 , x+2y8 , 3x+y9 のとき,x+y の最大値と最小値を求めよ.
(1) 領域を図示する.
(2) x+y=k とおいて,幾つか直線を描く.
(3) k の値を増やしていくとき,最初に領域にさわる所,最後に領域とさわる所を探す.
[解答] x0 , y0 , x+2y8 , 3x+y9 の領域は図の通り.
 また,x+y=k すなわち y= - x+k とおくと,図の赤で示した直線になる.
傾きについては - 3<-1< - 1/3 が成り立つから,k が最大となるのは,(0 , 4)(3 , 0) ではなく交点 (2 , 3) になることに注意する.
 連立方程式 x+2y=8 , 3x+y=9 を解くと,交点は (x , y)=(2 , 3)
 傾きは - 3<-1< - だから,図のように (2 , 3) において k が最大となる.
 最大値は 2+3=5

 次に,図のように (0 , 0) において k が最小となるから,最小値は 0+0=0

 最大値 5x=2 , y=3 のとき )
 最小値 0x=0 , y=0 のとき )…(答)
[問題2]
 x0 , y0 , 2x+y8 , x+3y9 のとき,x+2y の最大値と最小値を求めよ.
__________________最大値 ,最小値
採点する やり直す ヘルプ

[例題3]
 x2+y25 のとき,y - 2x の最大値と最小値を求めよ.
[公式] 【判別式】
_____ax2+bx+c=0 (ただし a0
の実数解の個数は
_____D=b2 - 4ac>0 のとき2個
_____D=b2 - 4ac=0 のとき1個
_____D=b2 - 4ac<0 のときなし
D の符号で調べることができる.
_____ax2+2b’x+c=0 (ただし a0
の場合は
_____D’=b’2 - ac>0 のとき2個
_____D’=b’2 - ac=0 のとき1個
_____D’=b’2 - ac<0 のときなし
を使えば簡単になる.( D でやってもよい.)
※ x2+y2=5y=2x+k の共有点の個数は,これらから y を消去してできる x の2次方程式
_________x2+(2x+k)2=5
_________5x2+4kx+(2 - 5)=0
の判別式は
_____D’=(4k)2 - 20(2 - 5)
または,
_____D’=(2k)2 - 5(2 - 5)= - k2+25
[解答]
y - 2x=k すなわち y=2x+k とおくと,傾き 2,切片 k の直線になる.
 x2+y25 において k の値が変化するとき,図のように円に接するとき k が最大・最小となる.

 y=2x+kx2+y2=5 が接するときの k の値を求める.
 y を消去すると
_________x2+(2x+k)2=5
_________5x2+4kx+(k2 - 5)=0
接するのは判別式が0となる時だから
_________D’=(2k)2 - 5(k2 - 5)= - k2+25=0
より
_________k=±5
2つある接点 P, Q のどちらが k=5 に対応するのかは,見れば分かる.上にある方( k の大きい方)が k=5 となる.
 よって,最大値は 5,最小値は - 5 …(答)
 この問題では,最大値・最小値が先に求まり,それを実現する x , y の値がまだ求まっていない.
 問題文に「最大値,最小値を求めよ。また,そのときの x , y の値を求めよ.」と特に指定されていなければ x , y の値を求めなくてもよい.
 指定されていれば,例えば最大値 k=5 となるのは,この値を代入して
_________5x2+20x+20=0
_________x2+4x+4=0
より x= - 2 , y=1 とすればよい.
[問題3]
 x2+y25 , y0 のとき,2x+y の最大値と最小値を求めよ.
最大値 ,最小値 −

採点する やり直す ヘルプ


■以下の内容は,教科書と比べると難しい,参考書では普通
[例題4]k が半径(の2乗)を表わす場合 ]
 y0 , yx , 2x+y6 のとき,x2+y2 の最大値と最小値を求めよ.
 x2+y2=k とおくと,k は原点を中心とする円の半径(の2乗)を表わす.
 そこで,円を描いて半径が最大・最小となる点を求めるとよい.
[解答]
 x2+y2=k とおくと,k は原点を中心とする円の半径(の2乗)を表わす.
 点 (3 , 0) においては k=32+02=9
 点 (2 , 2) においては k=22+22=8
円は外にふくらんでいるから(何と通俗的な解説!)これら2点の間の線分で最大となることはない.
だから,点 (3 , 0) において最大値 9 をとる.
 また原点において最小値 k=02+02=0 をとる.…(答)
[問題4]
 y2 , x2 , x+y2 のとき,x2+y2 の最大値と最小値を求めよ.
最大値 ,最小値
採点する やり直す ヘルプ

[例題5]k が半径(の2乗)を表わす場合 ]
 y0 , x0 , x+y1 のとき,(x+1)2+y2 の最大値と最小値を求めよ.
 (x+1)2+y2=k とおくと,k( - 1 , 0) を中心とする円の半径(の2乗)を表わす.
 そこで,円を描いて半径が最大・最小となる点を求めるとよい.
[解答]
 (x+1)2+y2=k とおくと,k( - 1 , 0) を中心とする円の半径(の2乗)を表わす.
 点 (1 , 0) において最大値 k=4
 点 (0 , 0) において最小値 k=1 をとる.…(答)
[問題5]
 x2+y21 のとき,x2+y2 - 4x の最大値と最小値を求めよ.
最大値 ,最小値
採点する やり直す ヘルプ

...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][領域における最大最小について/17.2.9]
例題2の傾きの範囲は -3<k<-1/2 ではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.少し記述に問題がありましたので訂正しました.