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■ Sn→a関係式

■解説
○[問題の場面]
 数列{a}の初項から第n項までの和Sが与えられていて,{a}の一般項が分からないとき,Sからaを求めるには?
【公式】
a1 = S1 …(1)
n≧2のとき,an = Sn- Sn-1 …(2)

≪(1)の解説≫
は特別:S1-S0 とはできない。S0は定義されていないから,
a1は単にSだけでよい。

≪(2)の解説≫



=== 駅で電車を待っていると分かること ===

※注意※
よく似ているが,階差数列のときとは事情が違うので注意
階差数列:b = an+1 - an ← 小さい方の番号
Sn→an:  an = Sn - Sn-1 ← 大きい方の番号

【例】
 初項から第n項までの和Snが次の式で与えられる数列の一般項aを求めなさい。 S = n2

答案例
n=1のとき
 a1 = S1 = 12 = 1
n≧2のとき
 an = Sn - Sn-1 =n2 - (n-1)2 = 2n-1
以上により,n≧1のときa=2n-1・・答

※求めるときは,n=1のときと,n≧2のときとを分けて求めなければならないが,結果が1つの式にまとめられるときは,まとめる.
実際,ほとんどの問題は,まとめられる.


■問題
1 
 初項から第n項までの和Snが S=n2+2n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=Sn - Sn-1=[イ]
ゆえに,n≧1のとき,a=[ウ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 1358

[イ] 2n+32n+12n-1

[ウ] 2n+32n+12n-1


2
 初項から第n項までの和Snが S=n3-3n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
ゆえに,n≧1のとき,a=[ウ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] -3-20

[イ] 3n2-3n+13n2-3n-2

3n2+3n+13n2+3n-2


[ウ] 3n2-3n+13n2-3n-2

3n2+3n+13n2+3n-2





 初項から第n項までの和Snが S=2n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 124

[イ] 2n-12n2n+1

※参考:数列{a}が等比数列ならば,その和は

となって,定数項があるはずですが,それがないのは初項が例外ルールとなっているから。この場合,a1はn≧2の場合と統一できない


 初項から第n項までの和Snが S=n2+5 で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 156

[イ] 2n-12n+12n+5

※参考:数列{a}が等差数列ならば,その和は
となって,定数項がないはずですが,それがあるのは初項が例外ルールとなっているから。この場合,a1はn≧2の場合と統一できない


 初項から第n項までの和をSnが 2a=Sn + 1 (n≧1)を満たすとき,数列{a}の初めの3項を求めなさい。
(答案)
=[ア]
2=[イ]
3=[ウ]
(正しいものを選びなさい。)
[ア] 013
[イ] 124
[ウ] 124

※ S1=a1に注意すると,a1の方程式ができます。


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