■ Sn→a関係式→ 携帯版は別頁

■解説
○[問題の場面]
 数列{a}の初項から第n項までの和Sが与えられていて,{a}の一般項が分からないとき,Sからaを求めるには?
 
 
■要点■

a1 = S1
n≧2のとき,an = Sn - Sn-1

※aは特別: S1-S0 とはできない。S0は定義されていない。
a1は単にSだけでよい。

※階差数列のときと事情が違うので注意:

階差数列:b = an+1 - an
Sn→an:  an = Sn - Sn-1


 初項から第n項までの和Snが次の式で与えられる数列の一般項aを求めなさい。 S = n2

答案例
n=1のとき
 a1 = S1 = 12 = 1
n≧2のとき
 an = Sn - Sn-1 =n2 - (n-1)2 = 2n-1
以上により,n≧1のときa=2n-1・・答

<図で示せば>


<式で示せば>
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
・・・
Sn=a1+a2+a3+・・・an-1+an
.
■問題
1 
 初項から第n項までの和Snが S=n2+2n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=Sn - Sn-1=[イ]
ゆえに,n≧1のとき,a=[ウ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 1358
[イ] 2n+32n+12n-1
[ウ] 2n+32n+12n-1
2
 初項から第n項までの和Snが S=n3-3n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
ゆえに,n≧1のとき,a=[ウ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] -3-20
[イ] 3n2-3n+13n2-3n-23n2+3n+13n2+3n-2

[ウ] 3n2-3n+13n2-3n-23n2+3n+13n2+3n-2


 初項から第n項までの和Snが S=2n で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 124
[イ] 2n-12n2n+1
※参考:数列{a}が等比数列ならば,その和は

となって,定数項があるはずですが,それがないのは初項が例外ルールとなっているから。この場合,a1はn≧2の場合と統一できない

 初項から第n項までの和Snが S=n2+5 で与えられる数列の一般項aを求めなさい。

(答案)
n=1のとき,a=[ア]
n≧2のとき,a=[イ]
(適当なものを選びなさい。)
[ア] 156
[イ] 2n-12n+12n+5
※参考:数列{a}が等差数列ならば,その和は
となって,定数項がないはずですが,それがあるのは初項が例外ルールとなっているから。この場合,a1はn≧2の場合と統一できない

 初項から第n項までの和をSnが 2a=Sn + 1 (n≧1)を満たすとき,数列{a}の初めの3項を求めなさい。

(答案)
=[ア]
2=[イ]
3=[ウ]
(正しいものを選びなさい。)
[ア]013
[イ] 124
[ウ] 124
※ S1=a1に注意すると,a1の方程式ができます。
●==メニューに戻る