■　Sn→ａｎ関係式
■解説
○［問題の場面］
　数列｛ａｎ｝の初項から第ｎ項までの和Ｓｎが与えられていて，｛ａｎ｝の一般項が分からないとき，Ｓｎからａｎを求めるには？
 
 
■要点■

a1 = S1
ｎ≧2のとき，an = Sn - Sn-1

※ａ１は特別：　S1-S0　とはできない。S0は定義されていない。
a1は単にＳ１だけでよい。

※階差数列のときと事情が違うので注意：

階差数列：bｎ = an+1 - an
Sn→an：  an = Sn - Sn-1

例
　初項から第ｎ項までの和Snが次の式で与えられる数列の一般項ａｎを求めなさい。　Ｓｎ = n2

答案例
n=1のとき
　a1 = S1 = 12 = 1
n≧2のとき
　an = Sn - Sn-1 =n2 - (n-1)2 = 2n-1
以上により，n≧1のときａｎ=2n-1・・答

 ＜図で示せば＞

＜式で示せば＞
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
・・・
Sn=a1+a2+a3+・・・an-1+an
.■問題
１　
　初項から第ｎ項までの和Snが　Ｓｎ=n2+2n　で与えられる数列の一般項ａｎを求めなさい。
(答案)
n＝1のとき，ａ１=［ア］
ｎ≧2のとき，ａｎ=Sn - Sn-1=［イ］
ゆえに，ｎ≧1のとき，ａｎ=［ウ］		 （適当なものを選びなさい。）
［ア］ 1，3，5，8
［イ］ 2n+3，2n+1，2n-1
［ウ］ 2n+3，2n+1，2n-1
 
2
　初項から第ｎ項までの和Snが　Ｓｎ=n3-3n　で与えられる数列の一般項ａｎを求めなさい。
(答案)
n＝1のとき，ａ１=［ア］
ｎ≧2のとき，ａｎ=［イ］
ゆえに，ｎ≧1のとき，ａｎ=［ウ］		 （適当なものを選びなさい。）
［ア］ -3，-2，0
［イ］ 3n2-3n+1，3n2-3n-2，3n2+3n+1，3n2+3n-2
［ウ］ 3n2-3n+1，3n2-3n-2，3n2+3n+1，3n2+3n-2
 
３
　初項から第ｎ項までの和Snが　Ｓｎ=2n　で与えられる数列の一般項ａｎを求めなさい。
(答案)
n＝1のとき，ａ１=［ア］
ｎ≧2のとき，ａｎ=［イ］
・・・答
 （適当なものを選びなさい。）
［ア］ 1，2，4
［イ］ 2n-1 ，2n ，2n+1
※参考：数列｛ａｎ｝が等比数列ならば，その和は

となって，定数項があるはずですが，それがないのは初項が例外ルールとなっているから。
 
４
　初項から第ｎ項までの和Snが　Ｓｎ=n2+5　で与えられる数列の一般項ａｎを求めなさい。
(答案)
n＝1のとき，ａ１=［ア］
ｎ≧2のとき，ａｎ=［イ］
・・・答
 （適当なものを選びなさい。）
［ア］ 1，5，6
［イ］ 2n-1，2n+1，2n+5
※参考：数列｛ａｎ｝が等差数列ならば，その和は
となって，定数項がないはずですが，それがあるのは初項が例外ルールとなっているから。
 
５
　初項から第ｎ項までの和をSnが 2aｎ=Sn + 1 （ｎ≧1）を満たすとき，数列｛ａｎ｝の初めの３項を求めなさい。
(答案)
ａ１=［ア］
ａ2=［イ］
ａ3=［ウ］
・・・答
（正しいものを選びなさい。）
［ア］ 0，1，3
［イ］ 1，2，4
［ウ］ 1，2，4
※　S1=a1に注意すると，a1の方程式ができます。
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