因数定理による因数分解

** 前のページの復習 **
【剰余の定理1】
整式 $P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ に等しい．

【剰余の定理2.1】

整式 $P(x)$ を $x-\frac{b}{a}$ で割った余りは $P(\frac{b}{a})$ に等しい．

【剰余の定理2.2】
整式 $P(x)$ を $ax-b$ で割った余りは $P(\frac{b}{a})$ に等しい．

（参考）
(1)　定理1において，見かけで判断して $a$ を整数と解釈することが多いが，実際にはそのような制限はない．したがって， $a$ は分数でもよく，無理数でもよい． $a$ を分数とすると2.1の定理が得られる．ただし，定理2.1では見かけで分かるように $a,\hspace{3}b$ を整数と考えて見やすい形に書いただけである．

例えば， $P(x)=x^2-2$ のとき，
$P(\sqrt{2})=2-2=0$ で，余り0，つまり割り切れるが，それは $P(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ に対応している．

(2)　2.1と2.2には矛盾はないことに注意．例えば $P(\frac{1}{2})$ は，整式 $P(x)$ を $x-\frac{1}{2}$ で割った余りなのか， $2x-1$ で割った余りなのか，どっちなのかと問う必要はない．

例えば， $P(x)=2x^2+ x+ 2$ のとき，
$P(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ 2=3$ であるが，この余り3は $x-\frac{1}{2}$ で割った余りでもあり， $2x-1$ で割った余りでもある．次の例から分かるように「余りは等しい」からである．（「商は2倍だけ違う」）
$P(x)=2x^2+ x+ 2=(x-\frac{1}{2})(2x+ 2)+ 3$
$=(2x-1)(x+ 1)+ 3$

（要約）
　数学的には，定理1だけでよいが，分数の場合に見かけで分かり易いように，定理2.1，2.2も使ってよい．ただし，2.1，2.2では $a,\hspace{3}b$ は整数として使う．

　剰余の定理において，「余りが０」になる場合「割り切れる」から，次の因数定理が成り立つ．

【因数定理1】
整式 $P(x)$ について $P(a)=0$ が成り立つならば， $P(x)$ は $x-a$ で割り切れる．

【因数定理2.1】

整式 $P(x)$ について $P(\frac{b}{a})=0$ が成り立つならば， $P(x)$ は $x-\frac{b}{a}$ で割り切れる．

【因数定理2.2】
整式 $P(x)$ について $P(\frac{b}{a})=0$ が成り立つならば， $P(x)$ は $ax-b$ で割り切れる．

【例題１】　次の式を因数分解してください．
$x^3+ 2x^2-x-2$

　因数定理を使って因数分解するには，与えられた整式を $P(x)$ とおいて，適当な整数 $a$ に
$a=1,\hspace{2}2,\hspace{3}3,\cdots,-1,\hspace{2}-2,\hspace{3}-3,\cdots$ を代入して，ちょうど０になるものを探します．
　そういう意味では，人聞きがよくないですが，「因数分解は，ある程度はまぐれ当たりねらいです」．運が良ければ，速く当たり，運が悪ければ，なかなか当たりません．

（答案）
$P(x)=x^3+ 2x^2-x-2$ とおくと
$P(1)=1^3+ 2\times 1^2-1-2=0$ だから
$P(x)$ は $x-1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2+ 3x+ 2$
$x-1\overline{)\hspace{3}x^3+ 2x^2-x-2}$
$x^3-x^2$
$\overline{\hspace{30}3x^2-x}$
$\hspace{30}3x^2-3x$
$\overline{\hspace{60}2x-2}$
$2x-2$
$\overline{\hspace{30}0}$

したがって， $x^3+ 2x^2-x-2=(x-1)(x^2+ 3x+ 2)$

残りが2次式になると，和と積を考える因数分解とか，たすき掛けの因数分解などを使って，さらに行けるところまで行けばよい

$(x-1)(x+ 1)(x+ 2)$ …（答）

　因数定理には「まぐれ当たり」の要素がありますが，全くのデタラメではありません．もう少し，効果的に「当てる」方法があります．整数係数で因数分解できる限り，もし
$P(x)=ax^3+ bx^2+ cx+ d$
$=(Ax+ B)(Cx^2+ Dx+ E)$
のように因数分解できるのなら，少なくとも次の関係が成り立ちます．

$AC=a$
$BE=d$
　したがって，「 $A$ は $a$ の約数」「 $B$ は $d$ の約数」でなければならない．
　 $Ax+ B$ で割り切れる $\overset{\rightarrow}{\leftarrow}$ $P(-\frac{B}{A})=0$

【重要】
　このようにして，整数係数の３次式 $P(x)=ax^3+ bx^2+ cx+ d$ が，もし整数係数で因数分解できるのなら
$P(\pm$ $d$ の約数 $)$

$a$ の約数
の中に，ちょうど０になるものがあるはずです．

【例題２】　次の式を因数分解してください．
$x^3-4x^2+ x+ 6$

$x^3$ の係数が１，定数項が6だから
±（分子は6の約数=1,2,3,6）/（分母は1）
すなわち，±1, ±2,±3,±6のうちのどれかで合うはずです．

（答案）
$P(x)=x^3-4x^2+ x+ 6$ とおくと
$P(-1)=-1-4-1+ 6=0$ だから
$P(x)$ は $x+ 1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2-5x+ 6$
$x+ 1\overline{)\hspace{3}x^3-4x^2+ x+ 6}$
$x^3+ x^2$
$\overline{\hspace{30}-5x^2+ x}$
$\hspace{30}-5x^2-5x$
$\overline{\hspace{60}6x+ 6}$
$6x+ 6$
$\overline{\hspace{30}0}$

$x^3-4x^2+ x+ 6=(x+ 1)(x^2-5x+ 6)$
$=(x+ 1)(x-2)(x-3)$ …（答）

　因数定理を使った因数分解のポイントは，因数を見つけたら，割り算によって次数が下げられるところにあります．
　しかし，因数が全部見つかったら，割り算も省略できます．

【例題３】　次の式を因数分解してください．
$x^3+ 3x^2-x-3$

$x^3$ の係数が１，定数項が−3だから
±（分子は3の約数=1,3）/（分母は1）
すなわち，±1,±3;のうちのどれかで合うはずです．

（答案）
$P(x)=x^3+ 3x^2-x-3$ とおくと
$P(1)=1+ 3-1-3=0$
$P(-1)=-1+ 3+ 1-3=0$
$P(-3)=-27+ 27+ 3-3=0$ だから
$P(x)$ は $(x-1)(x+ 1)(x+ 3)$ で割り切れる．
問題の $x^3$ の係数は1だから
$(x-1)(x+ 1)(x+ 3)$ …（答）

※※ややこしい話＝早合点禁物※※
　【重要】にまとめたことは
整数係数の多項式が，「整数係数で因数分解できるときは」

±定数項の約数

最高次の係数の約数

の中に合うものがあるはずだ，ということで，必ず整数係数に因数分解できることを保証するわけではない．
すなわち，整数係数に因数分解できない場合には，何も言えない．
【例】
$P(x)=x^2-2$ に対して $P(\pm 1),\hspace{5}P(\pm 2)$ のどれも０にはならない．実際には， $P(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ になり，整数係数では因数分解できない．
【例】
$P(x)=x^3-2x^2+ 3x-4$ のように適当に作った３次式や４次式の多くは整数係数の１次式で因数分解できない．
⇒ しかし，心配はいらない．なぜなら，そういう問題が「因数分解しなさい」という問題で出題されることはないからである．（できない問題を出題したら，問題が間違っていることになる）

【問題１】　次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$x^3-3x^2-10x+ 24$

解説やり直す

$(x-1)(x+ 1)(x+ 2)$ $(x+ 1)(x-2)(x-3)$

$(x-2)(x+ 3)(x-4)$ $(x+ 2)(x-3)(x-4)$

$x^3$ の係数が１，定数項が24だから
±（分子は24の約数=1,2,3,4,6,12,24）/（分母は1）
すなわち，±1,±2,±3,±4,±6,±12,±24を試してみます．

$P(x)=x^3-3x^2-10x+ 24$ とおくと
$P(2)=8-12-20+ 24=0$ だから
$P(x)$ は $x-2$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2-\hspace{4}x\hspace{4}-12$
$x-2\overline{)\hspace{3}x^3-3x^2-10x+ 24}$
$x^3-2x^2$
$\overline{\hspace{30}-x^2-10x}$
$\hspace{30}-x^2+ 2x$
$\overline{\hspace{60}-12x+ 24}$
$-12x+ 24$
$\overline{\hspace{50}0}$

$x^3-3x^2-10x+ 24=(x-2)(x^2-x-12)$
$=(x-2)(x+ 3)(x-4)$ …（答）

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(2)
$x^3+ 11x^2+ 39x+ 45$

解説やり直す

$(x-3)(x+ 3)(x-5)$ $(x+ 1)(x-3)(x-15)$

$(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)$ $(x+ 3)^2(x+ 5)$

係数が全部正の数だから，xに正の数を代入しても０にはなりません．
$x^3$ の係数が１，定数項が45だから
−（分子は45の約数=1,2,3,5,9,…）/（分母は1）のうちで負の数を試してみます．

$P(x)=x^3+ 11x^2+ 39x+ 45$ とおくと
$P(-3)=-27+ 99-117+ 45=0$ だから
$P(x)$ は $x+ 3$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2+\hspace{4}8x\hspace{4}+ 15$
$x+ 3\overline{)\hspace{3}x^3+ 11x^2+ 39x+ 45}$
$x^3+ 3x^2$
$\overline{\hspace{30}8x^2+ 39x}$
$\hspace{30}8x^2+ 24x$
$\overline{\hspace{60}15x+ 45}$
$15x+ 45$
$\overline{\hspace{50}0}$

$x^3+ 11x^2+ 39x+ 45=(x+ 3)(x^2+ 8x+ 15)$
$=(x+ 3)(x+ 3)(x+ 5)$
$=(x+ 3)^2(x+ 5)$ …（答）

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(3)
$2x^3+ x^2-13x+ 6$

解説やり直す

$(x-2)(x-3)(2x+ 1)$ $(x-2)(x+ 3)(2x-1)$

$(x+ 2)(x-3)(2x-1)$ $(x+ 2)(x-3)(2x+ 1)$

$x^3$ の係数が2，定数項が6だから
±（分子は6の約数=1,2,3,6）/（分母は2の約数=1,2）
すなわち，±1,±2,±3,±6,±1/2,±3/2 を試してみます．

$P(x)=2x^3+ x^2-13x+ 6$ とおくと
$P(2)=16+ 4-26+ 6=0$ だから
$P(x)$ は $x-2$ で割り切れる．
割り算を行うと

$2x^2+\hspace{4}5x\hspace{4}-3$
$x-2\overline{)\hspace{3}2x^3+ x^2-13x+ 6}$
$2x^3-4x^2$
$\overline{\hspace{30}5x^2-13x}$
$\hspace{30}5x^2-10x$
$\overline{\hspace{60}-3x+ 6}$
$-3x+ 6$
$\overline{\hspace{50}0}$

$2x^3+ x^2-13x+ 6=(x-2)(2x^2+\hspace{4}5x\hspace{4}-3)$
$=(x-2)(x+ 3)(2x-1)$ …（答）

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(4)
$3x^3+ 10x^2-9x-4$

解説やり直す

$(x-1)(x+ 4)(3x-1)$ $(x-1)(x+ 4)(3x+ 1)$

$(x+ 1)(x+ 4)(3x-1)$ $(x+ 1)(x+ 4)(3x+ 1)$

$x^3$ の係数が3，定数項が−4だから
±（分子は4の約数=1,2,4）/（分母は3の約数=1,3）
すなわち，±1,±2,±4,±1/3,±2/3,±4/3 を試してみます．

$P(x)=3x^3+ 10x^2-9x-4$ とおくと
$P(1)=3+ 10-9-4=0$ だから
$P(x)$ は $x-1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$3x^2+\hspace{4}13x\hspace{4}+ 4$
$x-1\overline{)\hspace{3}3x^3+ 13x^2-9x-4}$
$3x^3-3x^2$
$\overline{\hspace{30}13x^2-9x}$
$\hspace{30}13x^2-13x$
$\overline{\hspace{60}4x-4}$
$4x-4$
$\overline{\hspace{50}0}$

$3x^3+ 13x^2-9x-4=(x-1)(3x^2+ 13x + 4)$
$=(x-1)(x+ 4)(3x+ 1)$ …（答）

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　通常，単に「因数分解せよ」という場合は，係数に「整数または分数」を使った範囲で（すなわち有理数の範囲で）因数分解することが求められています．特に断り書きがなければ，無理数や複素数を係数に使った因数分解は要求されません．
【例1】 $x^3+ x^2-2x-2$ を因数分解せよ．
$(x+ 1)(x^2-2)$ …（答）
【例2】 $x^3+ x^2-2x-2$ を実数の範囲で因数分解せよ．
$(x+ 1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ …（答）
【例3】 $x^3-x^2+ 2x-2$ を因数分解せよ．
$(x-1)(x^2+ 2)$ …（答）
【例4】 $x^3-x^2+ 2x-2$ を複素数の範囲で因数分解せよ． $(x-1)(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)$ …（答）

　係数に「整数または分数」を使った範囲で（すなわち有理数の範囲で）因数分解する場合に，次のような問題が出されたとき， $x^2-x+ 1$ の方は有理係数では因数分解できないので， $P(-\frac{1}{3})$ を見つけない限り，問題は解けません．
$3x^3-2x^2+ 2x + 1=(3x+ 1)(x^2-x+ 1)$
　すでに述べた通り，±(1の約数)/(3の約数)の組合せの中にこの分数があります．

【例題４】　次の式を因数分解してください．
$3x^3-2x^2+ 2x+ 1$

$x^3$ の係数が3，定数項が1だから
±（分子は1の約数）/（分母は3の約数）
すなわち，±1, ±1/3 のうちのどれかで合うはずです．

（答案）
$P(x)=3x^3-2x^2+ 2x + 1$ とおくと
$P(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+ 1=0$ だから
$P(x)$ は $3x+ 1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2-x+ 1$
$3x+ 1\overline{)\hspace{3}3x^3-2x^2+ 2x+ 1}$
$3x^3+ x^2$
$\overline{\hspace{30}-3x^2+ 2x}$
$\hspace{30}-3x^2-x$
$\overline{\hspace{60}3x+ 1}$
$3x+ 1$
$\overline{\hspace{30}0}$

$3x^3-2x^2+ 2x+ 1=(3x+ 1)(x^2-x+ 1)$ …（答）

【問題２】　次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$2x^3+ x^2+ x-1$

解説やり直す

$(2x-1)(x^2-x+ 1)$ $(2x+ 1)(x^2+ x-1)$

$(2x-1)(x^2+ x+ 1)$ $(2x+ 1)(x^2-x-1)$

$x^3$ の係数が2，定数項が−1だから
±（分子は1の約数）/（分母は2の約数）
すなわち，±1,±1/2を試してみます．

$P(x)=2x^3+ x^2+ x-1$ とおくと
$P(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=0$ だから
$P(x)$ は $2x-1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2\hspace{4}+ x\hspace{4}+ 1$
$2x-1\overline{)\hspace{3}2x^3+ x^2+ x-1}$
$2x^3-x^2$
$\overline{\hspace{30}2x^2+ x}$
$\hspace{30}2x^2-x$
$\overline{\hspace{60}2x-1}$
$2x-1$
$\overline{\hspace{50}0}$

$2x^3+ x^2+ x-1=(2x-1)(x^2+ x+ 1)$ …（答）

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(2)
$2x^3+ x^2-x+ 3$

解説やり直す

$(2x+ 3)(x^2-x+ 1)$ $(2x+ 3)(x^2+ x-1)$

$(2x-3)(x^2-x+ 1)$ $(2x-3)(x^2-x-1)$

$x^3$ の係数が2，定数項が3だから
±（分子は3の約数）/（分母は2の約数）
すなわち，±1,±3, ±1/2, ±3/2を試してみます．

$P(x)=2x^3+ x^2-x+ 3$ とおくと
$P(-\frac{3}{2})=-\frac{27}{4}+\frac{9}{4}+\frac{3}{2}+ 3=0$ だから
$P(x)$ は $2x+ 3$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2\hspace{4}-x\hspace{4}+ 1$
$2x+ 3\overline{)\hspace{3}2x^3+ x^2-x+ 3}$
$2x^3+ 3x^2$
$\overline{\hspace{30}-2x^2-x}$
$\hspace{30}-2x^2-3x$
$\overline{\hspace{60}2x-3}$
$2x-3$
$\overline{\hspace{50}0}$

$(2x+ 3)(x^2-x+ 1)$ …（答）

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　４次式を因数分解するときに，因数を１つ求めて割り算をしても，商はまだ３次式です．さらに，因数定理を使って割り算をすれば，２次式まで次数を下げられますが，この方法では因数定理を２回，割り算を２回行うことになり，計算量が多くなります．
　このような場合，初めに因数を２つ見つけるようにして，１回で２次下げる方がよいでしょう．

【例題５】　次の式を因数分解してください．
$x^4-x^3-7x^2+ x+ 6$

$x^4$ の係数が1，定数項が6だから
±（分子は6の約数）/（分母は1の約数）
すなわち，±1, ±2,±3,±6 のうちのどれかで合うはずです．

（答案）
$P(x)=x^4-x^3-7x^2+ x+ 6$ とおくと
$P(1)=1-1-7+ 1+ 6=0$
$P(-1)=1+ 1-7-1+ 6=0$ だから
$P(x)$ は $(x-1)(x+ 1)=x^2-1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2-x\hspace{6}-6$
$x^2-1\overline{)\hspace{3}x^4-x^3-7x^2+ x+ 6}$
$x^4\hspace{30}-x^2$
$\overline{\hspace{30}-x^3-6x^2+ x}$
$\hspace{30}-x^3\hspace{40}+ x$
$\overline{\hspace{60}-6x^2\hspace{40}+ 6}$
$-6x^2\hspace{40}+ 6$
$\overline{\hspace{80}0}$

$x^4-x^3-7x^2+ x+ 6=(x-1)(x+ 1)(x^2-x-6)$
$=(x-1)(x+ 1)(x+ 2)(x-3)$ …（答）

【問題３】　次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$x^4+ 3x^3-3x^2-7x+ 6$

解説やり直す

$(x-1)^2(x+ 2)(x+ 3)$ $(x+ 1)^2(x-2)(x-3)$

$(x-1)^2(x+ 2)(x-3)$ $(x+ 1)^2(x-2)(x+ 3)$

$x^4$ の係数が1，定数項が6だから
±（分子は6の約数）/（分母は1の約数）
すなわち，±1,±2,±3,±6を試してみます．

$P(x)=x^4+ 3x^3-3x^2-7x+ 6$ とおくと
$P(1)=1+ 3-3-7+ 6=0$
$P(-2)=16-24-12+ 14+ 6=0$ だから
$P(x)$ は $(x-1)(x+ 2)=x^2+ x-2$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2\hspace{4}+ 2x\hspace{4}-3$
$x^2+ x-2\overline{)\hspace{3}x^4+ 3x^3-3x^2-7x+ 6}$
$x^4+ x^3-2x^2$
$\overline{\hspace{30}2x^3-x^2-7x}$
$\hspace{30}2x^3+ 2x^2-4x$
$\overline{\hspace{60}-3x^2-3x+ 6}$
$-2x^2-3x+ 6$
$\overline{\hspace{100}0}$

$x^4+ 3x^3-3x^2-7x+ 6=(x-1)(x+ 2)(x^2+ 2x-3)$
$=(x-1)(x+ 2)(x-1)(x+ 3)$
$=(x-1)^2(x+ 2)(x+ 3)$ …（答）

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(2)
$6x^4-7x^3+ 12x^2-x-2$

解説やり直す

$(2x-1)(3x-1)(x^2-x+ 2)$

$(2x-1)(3x+ 1)(x^2-x+ 2)$

$(2x+ 1)(3x-1)(x^2-x+ 2)$

$(2x+ 1)(3x+ 1)(x^2-x+ 2)$

$x^4$ の係数が6，定数項が−2だから
±（分子は2の約数）/（分母は6の約数）
を試してみます．

$P(x)=6x^4-7x^3+ 12x^2-x-2$ とおくと
$P(\frac{1}{2})=\frac{3}{8}-\frac{7}{8}+ 3-\frac{1}{2}-2=0$
$P(-\frac{1}{3})=\frac{2}{27}+\frac{7}{27}+ \frac{4}{3}+\frac{1}{3}-2=0$ だから
$P(x)$ は $(2x-1)(3x+ 1)=6x^2-x-1$ で割り切れる．
割り算を行うと

$x^2\hspace{4}-x\hspace{4}+ 2$
$6x^2-x-1\overline{)\hspace{3}6x^4-7x^3+ 12x^2-x-2}$
$6x^4-x^3-x^2$
$\overline{\hspace{30}-6x^3+ 13x^2-x}$
$\hspace{30}-6x^3+ x^2\hspace{10}+ x$
$\overline{\hspace{60}12x^2-2x-2}$
$12x^2-2x-2$
$\overline{\hspace{90}0}$

$6x^4-7x^3+ 12x^2-x-2$
$=(2x-1)(3x+ 1)(x^2-x+ 2)$ …（答）

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(3)
$4x^4-8x^3+ 17x^2-13x-12$

解説やり直す

$(2x-1)(2x-3)(x^2-x-4)$

$(2x+ 1)(2x-3)(x^2-x+ 4)$

$(2x-1)(2x+ 3)(x^2-x-4)$

$(2x+ 1)(2x+ 3)(x^2-x+ 4)$

$x^4$ の係数が4，定数項が12だから
±（分子は12の約数）/（分母は4の約数）
を試してみます．

$P(x)=4x^4-8x^3+ 17x^2-13x-12$ とおくと
$P(-\frac{1}{2})=0$
$P(\frac{3}{2})=0$ だから
$P(x)$ は $(2x+ 1)(2x-3)=4x^2-4x-3$ で割り切れる．
割り算を行うと
$4x^4-8x^3+ 17x^2-13x-12$
$=(2x+ 1)(2x-3)(x^2-x+ 4)$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[因数定理による因数分解について／18.9.7］

問題2の(2)で、正解と思われる(2X+3)(X^2-X+1)を選ぶとXになります。なお解説は間違ってません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．最近アップしたばかりのページですが，突っ込みどころ満載のボケネタを混ぜたわけではない．紛らわしい選択肢を作っているうちに，管理人が罠にかかったということです．やはり，点検は他人が一番のようで，訂正しました．