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== 対数不等式 ==
対数不等式の解き方
aa>1のとき logax>logatx>t
a0<a<1のとき logax>logatx<t
(解説)
図1に示されるように,
aa>1のとき,グラフは単調増加関数(右上がりのグラフ)だから,
logax>logatならば,x>tが成り立ちます.

a0<a<1のとき,グラフは単調減少関数(右下がりのグラフ)だから,
logax>logatならば,x<tが成り立ちます.


注意
0<a<1のとき,対数を外したとき不等号の向きが逆になります.
図1

対数方程式の場合と同様に, 真数は正の数でなければなりません.
この真数条件は元の不等式で確かめる必要があり,元の不等式を変形したものでは一般に条件が変わってしまいます.

例1次の対数不等式を解いてください.
log10(2x−1)<log10x
真数条件から
2x−1>0, x>0x> …(1)
底は1よりも大きいから,
2x−1<x
x<1 …(2)
(1)(2)→
<x<1 …(答)

例2次の対数不等式を解いてください.
log10x+log10(x−1)<log106
真数条件から
x>0 かつ x−1>0x>1 …(1)
両辺を係数1の1つのlogにまとめる.
log10x(x−1)<log106
底は1よりも大きいから,
x(x−1)<6
2次不等式を因数分解で解くと
x2−x−6<0
(x−3)(x+2)<0
−2<x<3 …(2)
(1)(2)→
1<x<3 …(答)

例3次の対数不等式を解いてください.
2 log0.5(x−4)≦log0.52x
真数条件から
x−4>0 かつ x>0x>4 …(1)
両辺を係数1の1つのlogにまとめる.
log0.5(x−4)2≦log0.52x
底は1よりも小さいから,
(x−4)2≧2x
2次不等式を因数分解で解くと.
x2−8x+16≧2x
x2−10x+16≧0
(x−8)(x−2)≧0
x≦2 or 8≦x …(2)
(1)(2)→
x≧8 …(答)



例4次の対数不等式を解いてください.
1.log10(3−x)>log10(x−1)
(解答)
真数条件から
3−x>0x<3
x−1>01<x
1<x<3…(1)
101よりも大きいから,対数を外すと不等号の向きは同じになる.
3−x>x−1
−2x>−4
x<2 …(2)
(1)(2)→
1<x<2 …(答)
2.log0.2(2x−4)>log0.2(x+1)
(解答)
真数条件から
2x−4>0x>2
x+1>0x>−1
x>2…(1)
0.21よりも小さいから,対数を外すと不等号の向きは逆になる
2x−4<x+1
x<5 …(2)
(1)(2)→
2<x<5 …(答)
3.log2x+log2(x−2)≧3
(解答)
真数条件から
x>0, x−2>0x>2 …(1)
両辺を係数1の1つのlogにまとめる.
log2x(x−2)≧3log22=log28
21よりも大きいから,対数を外すと不当後の向きは変わらない.
x(x−2)≧8
2次不等式を因数分解で解くと
x2−2x−8≧0
(x+2)(x−4)≧0
x≦−2 or 4≦x …(2)
(1)(2)→
4≦x …(答)
4.log(x+1)<log(x+8)−log(x−4)
(解答)
真数条件から
x+1>0x>−1
x+8>0x>−8
x−4>0x>4
x>4…(1)
係数が負となっている項を移項すると
log (x+1)+log(x−4)<log(x+8)
両辺を係数1の1つのlogにまとめると
log(x+1)(x−4)<log(x+8)
1よりも小さいから,対数を外すと不等号の向きが逆になる
(x+1)(x−4)>x+8
2次不等式を因数分解で解くと
x2−3x−4>x+8
x2−4x−12>0
x<−2 or 6<x …(2)
(1)(2)→
x>6 …(答)


問題次の対数不等式を解いてください.
(空欄を埋める)
(1)log10(6−x)>log10(x−2)
<x<
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(2)log2x+log2(x−6)>4
x>
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(3)2 log10(x−4)<log10(x+8)
<x<
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(4)log0.5(x+1)<log0.5( 7−x)
<x<
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(5)log(x−2)−log(x+1)>1
<x<
採点するやり直す

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