2次不等式

x<2 , 5<x 2<x<5

x2−7x+10=0
(x−2)(x−5)=0
の解は
x=2 , 5

2次関数
y=x2−7x+10
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
2<x<5…（答）

(2)
2x2−4x+1≦0

$\frac{2-\sqrt{2}}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ $x\underline{\le}\frac{2-\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\frac{2+\sqrt{2}}{2}\underline{\le}x$

$x\underline{\le}\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$ 解なしすべての実数

2x2−4x+1=0
を解の公式を使って解くと
$x=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$

2次関数
y=2x2−4x+1
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
$\frac{2-\sqrt{2}}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ …（答）

(3)
2x2−6x>0

x>3 x<0 , 3<x 0<x<3

2x2−6x=0
2x(x−3)=0
の解は
x=0 , 3

2次関数
y=2x2−6x
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
x<0 , 3<x…（答）

(4)
x2+4x+4≦0

x≦−2 x=−2 x<−2 , −2<x

x2+4x+4=0
(x+2)2=0
の解は
x=−2（重解）

2次関数
y=x2+4x+4
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
x=−2…（答）

【問題２】

(1)
x2−2x+2>0

x>1 1−i<x<1+i x<1−i , 1+i<x

x2−2x+2=0
の判別式は
D’=1−2=−1<0

2次関数
y=x2−2x+2
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
すべての実数…（答）
※複素数には大小関係を考えないので，1−i<x<1+i，x<1−i , 1+i<xを選んだ人は要注意です

(2)
3x2−11x−4<0

$-\frac{1}{3}\lt x\lt 4$ $x\lt -\frac{1}{3},\hspace{5}4\lt x$

3x2−11x−4=0
(3x+1)(x−4)=0
の解は
$x=-\frac{1}{3},\hspace{5}4$

2次関数
y=3x2−11x−4 のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
$-\frac{1}{3}\lt x\lt 4$ …（答）

(3)
x2≧4x

x≧4 x≦0 , 4≦x 0≦x≦4

２次不等式を
x2−4x≧0
の形で解く
x2−4x=0
x(x−4)=0
の解は
x=0 , 4

2次関数
y=x2−4x
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
x≦0 , 4≦x…（答）

(4)
x2+4x+8≦0

x≦−4 −2−2i≦x≦−2+2i

x≦−2−2i , −2+2i≦x

x2+4x+8=0
の判別式は
D’=22−8=−4<0

2次関数
y=x2+4x+8
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
解なし…（答）
※複素数には大小関係を考えないので，−2−2i≦x≦−2+2i，x≦−2−2i , −2+2i≦xを選んだ人は要注意です

【問題３】

(1)
12(x−1)≧3x2

x≦2 x≧2 x=2

両辺を３で割る
4(x−1)≧x2
右辺に移項して左辺と右辺を入れ換える
x2−4x+4≦0
(x−2)2≦0
２次方程式
x2−4x+4=0
(x−2)2=0
の解は
x=2（重解）

2次関数
y=x2−4x+4
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
x=2…（答）

(2)
7+20x<3x2

$x\lt -\frac{1}{3},\hspace{5}7\lt x$ $x\lt \frac{1}{3},\hspace{5}7\lt x$ $\frac{1}{3}\lt x\lt 7$

式を左辺に移項して，両辺に－１を掛ける
−3x2+20x+7<0
3x2−20x−7>0←（この問題を解く）
２次方程式
3x2−20x−7=0
(3x+1)(x−7)=0
の解は
$x=-\frac{1}{3},\hspace{5}7$

2次関数
y=3x2−20x−7
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
$x\lt -\frac{1}{3},\hspace{5}7\lt x$ …（答）

(3)
$\frac{x^2+ x}{5}\gt\frac{x-1}{3}$

$x\lt\frac{1-\sqrt{14}i}{3},\hspace{5}\frac{1+\sqrt{14}i}{3}\lt x$ $\frac{1-\sqrt{14}i}{3}\lt x\lt\frac{1+\sqrt{14}i}{3}$

分母を払い左辺に移項する
3x2+3x> 5x−5
3x2−2x+5>0
２次方程式
3x2−2x+5=0
の判別式は
D’=12−15=−14<0

2次関数
y=3x2−2x+5
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
すべての実数…（答）

(4)
x2+(x−1)2≦3

$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\underline{\le} x\underline{\le}\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\underline{\le} x\underline{\le}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

2x2−2x−2≦0
x2−x−1≦0
２次方程式
x2−x−1=0
の解は
$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

2次関数
y=x2−x−1
のグラフは右図のようになるから，元の２次不等式の解は
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\underline{\le} x\underline{\le}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ …（答）