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== 2次不等式 ==(解き方まとめ)

(T) 初めにの係数が負になっている2次不等式は,両辺に−1を掛けて,の係数が正になるように書き換えます.
の係数が負になっている2次不等式,例えば

のような問題を「そのまま解こうとすると」

という上に凸のグラフを描いて,になるようなの値の範囲を探さなければならないことになります.

このような問題は,元の不等式を

に変形してから解くことに決めておくと,常にの係数が正の

という「よく見慣れた」グラフで解けるようになります.

そこで,以下においてはの係数が負になっている2次不等式が登場したら,両辺に−1を掛けて,の係数が正になるように書き換えて解くことにします.

において2次の係数が正であるとき、グラフは谷形になります。
⇒ (ただし、)は谷形

(U) の係数が正で

ア)の解が のとき
(1) 問題がなら,
答は
マイナスは「間」

(2) 問題がなら,
答は
プラスは「両側」

(3) 問題がなら,
答は
マイナスは「間」
等号付き

(4) 問題がなら,
答は
プラスは「両側」
等号付き

イ)の解が (重解) のとき
のとき)
(1) 問題がなら,
答は
解なし

(2) 問題がなら,
答は
でもよい)

(3) 問題がなら,
答は

(4) 問題がなら,
答は「すべての実数」

ウ)が実数解をもたないとき
のとき)
(1) 問題がなら,
答は
解なし

(2) 問題がなら,
答は
すべての実数

(3) 問題がなら,
答は
解なし

(4) 問題がなら,
答は
すべての実数



【例題1】
2次不等式の解を求めてください.
(解答)
(T)により,の係数が負のときは,両辺に−1を掛けて,問題を書き換えます.

両辺に−1を掛けると

この2次不等式を解くことにする.
まず2次方程式を解く.
因数分解できる問題は,因数分解で解くのが楽

の解は

より

2次関数

のグラフは右図のようになるから

となるの値の範囲は
…(答)
【例題2】
2次不等式の解を求めてください.
(解答)
両辺に式があるときは,展開整理して左辺に集めます



この2次不等式を解くことにする.
まず2次方程式を解くと虚数解になるのを見たら,判別式の話にしてしまう.

のときは

を使うと

よりも小さな数字で調べられる

の判別式は


だから
2次関数

のグラフは右図のようになる


となるの値の範囲は

すべての実数…(答)


■参考・・・平方完成による不等式の証明
上記のイ)の場合,およびウ)の場合は,平方完成の変形により解くべき2次不等式に代えて絶対不等式の証明で行うことができますが,後に述べる事情(*)から基本練習としてはお勧めしません.
【例1】イ)の場合
(1) 2次不等式…(A)の解を求めるとき
…(B)
だから
(A)は成り立たない.したがって,「解なし」…(答)
(2) 2次不等式…(A)の解を求めるとき
…(B)
だから
…(答)
(*)
(1)(2)の問題において,(A)は解くべき式,(B)はつねに成り立つ式であるが,同じような不等式で書かれているためか,(B)を使って(A)を解くという関係がなかなか理解しづらい生徒が多く,教科書などでは2次関数のグラフを使った解き方が多い.
【例2】ウ)の場合
(3) 2次不等式…(A)の解を求めるとき
…(B)
だから
(A)はつねに成り立つ.したがって,「すべての実数」…(答)
(4) 2次不等式…(A)の解を求めるとき
…(B)
だから
(A)は成り立たない.したがって,「解なし」…(答)

【問題1】
次の2次不等式を解きなさい.
(正しい選択肢をクリック)
(1)

(2)

(3)

(4)



【問題2】
(1)

(2)

(3)

(4)



【問題3】
(1)

(2)

(3)

(4)



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