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== 無理数の独立 ==

《解説》
(定理1)
が有理数のとき,

なお,この関係はでなくても、など,平方数でない数の根号に関しても成り立ちます.

が有理数という条件がなければ,[→]は成り立ちません.
例 
例 

(証明)
[←] だから,明らか.
[→]
 まず,を示す:
のとき,と変形でき、左辺は無理数,右辺は有理数だから矛盾.
背理法により,が示される.
 次に,を示す:
より,

(定理2)
が有理数のとき,

などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

(証明)
[←] 明らか.
[→]
 となり,が有理数であることから、
定理1により,
 ゆえに,

(余談):定理1は定理2において,c=d=0とすれば得られます.つまり,定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし,上に示したように,定理1から定理2が示されるので,定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには,どちらの形で使ってもかまいません.

 のとき,有理数の値を求めなさい.
定理2の形で使うときは:・・・(答)
定理1の形で使うときは:より
ゆえに・・・(答)

このように,定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.

定理1と定理2のような特別=一般の関係は,恒等式の係数比較などでも見られます.
  • 定理1 「の恒等式 ←→ 
  • 定理2 「の恒等式 ←→ 


《問題》---定理の使い方の練習
1
 が有理数で,
のとき,
, 


2
 が有理数で,
のとき,
, 


3
 が有理数で, のとき,

, 


《問題》---背理法による証明の練習
⇒[背理法の基本]を見ておく
1
 以下の問に答えよ.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい.
 有理数p,q,rについて,p+q√2+r√3=0ならば,p=q=r=0であることを示せ.
(「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
2
 a,bを整数,u,vを有理数とする. u+v√3 が
 x+ax+b=0 の解であるならば,uとvは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい.
(「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
3
 a,b,cが有理数で,a√2+b√3+c√6=0ならばa=b=c=0といえるかどうか調べなさい.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい.

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