三角関数の性質
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■解説
 ここまでに登場した三角関数の性質を要約すると,つぎの各式になる.(1)(2)は今までに登場していないが,右図から分かる.
(図を書けば分かるので,24個も公式を覚える必要はない.ただし,(8)だけは覚えた方がよい.)
 なお,cotθ と書く.

(1)   
   sin(360°×n+θ)=sinθ
  cos(360°×n+θ)= cosθ
  tan(360°×n+θ)= tanθ

(2)

   sin(90°θ)=cosθ
  cos(90°−θ)= sinθ
  tan(90°−θ)= = cotθ

(3)
   sin(90°+θ)=cosθ
  cos(90°+θ)= − sinθ
  tan(90°+θ)= − = − cotθ

(4)
   sin(180°θ)=sinθ
  cos(180°θ)= − cosθ
  tan(180°θ)= − tanθ

(5)
   sin(180°+θ)= − sinθ
  cos(180°+θ)= − cosθ
  tan(180°+θ)= tanθ

(6)
   sin(270°−θ)= − cosθ
  cos(270°− θ)= − sinθ
  tan(270°− θ)= = cotθ

(7)
   sin(270°+θ)= − cosθ
  cos(270°+ θ)= sinθ
  tan(270°+θ)= − = − cotθ

(8)
  sin( −θ)= − sinθ (sinθは奇関数
  cos( − θ)= cosθ (cosθは偶関数)
  tan( − θ)= − tanθ (tanθは
奇関数






例題
 次の式を簡単にしなさい.
(1)
sin(θ−180 °)+cos(90 °+θ)
sin(θ−180°)= − sin(180°− θ)= − sinθ
cos(90°+θ)= − sinθ だから
(原式)= − 2sinθ
(2)
sin(−θ)+sin(90°−θ)+sin(180°−θ)+sin(270°−θ)
(原式)= − sinθ+cosθ+sinθ−cosθ=0
(3)
tan(90°−θ)tan(180°+θ)
(原式)= cotθtanθ=1

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sinθ     sinθ
cosθ     cosθ
tanθ     tanθ
cotθ     cotθ


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sinθ   sinθ   2sinθ   − 2sinθ
cosθ   cosθ   2cosθ   − 2cosθ
tanθ   tanθ  2tanθ   − 2tanθ
cotθ  cotθ   2cotθ   − 2cotθ
sinθ+cosθ     sinθcosθ
cosθsinθ     sinθcosθ
0    1    − 1    2    − 2



(結果を確かめたいときの参考)
n×90°±θの三角関数をθの三角関数に直した結果の一覧表
ただし
cotθと書く.(コタンジェントθ)
cosecθと書く.(コセカントθ)
secθと書く.(セカントθ)
※見慣れない記号cotθ, cosecθ, secθが登場したら「3番目の文字の逆数」考えるとよい.
表A
θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
90°−θcosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
90°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
180°−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
180°+θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
270°−θcosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
270°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
360°−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
360°+θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
※赤道からスタートしたら三角関数は変わらない.北極,南極からスタートしたら三角関数が変わる.
表B
θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
θ−90°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
θ−180°sinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
θ−270°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
θ−360°sinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
表Aを先に考えて,次のルールで符号を付けると表Bになる.
sin(B−A)=−sin(A−B):逆に引くと符号が変わる
cos(B−A)=cos(A−B):逆に引いても符号は変わらない
tan(B−A)=−tan(A−B):逆に引くと符号が変わる
cot(B−A)=−cot(A−B):逆に引くと符号が変わる
sec(B−A)=sec(A−B):逆に引いても符号は変わらない
cosec(B−A)=−cosec(A−B):逆に引くと符号が変わる
θ+90°, θ+180°, θ+270°などの三角関数は90°+θ, 180°+θ, 270°+θの三角関数に同じ
※1回転以上になる角,すなわちθ+450°, θ+540°, θ+630°,..., θ−450°, θ−540°, θ−630°,...などの三角関数はθ+90°, θ+180°, θ+270°,..., θ−90°, θ−180°, θ−270°,...の三角関数に同じ
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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の性質(まとめ) について/16.12.19]
1/tanx=cosx?
=>[作者]:連絡ありがとう.
(ア)基本公式そのものを質問しているものとして答えます.

が成り立ちますか?という質問だとします.結論から言えば,成り立ちません.
その頁の(6)にある

の右辺はコタンジェントです.

でお互いに分母と分子を入れ換えたもので,の方は授業では習う場合も習わない場合もあります.

(イ)これとは異なり,ある特定の角で1/tanx=cosxが成り立つことはありますか?という質問である場合

となる場合は

になり,
となる角度では初めの式のが定義されませんので,結局この式が成り立つ角度はないということになります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の性質(まとめ) について/16.12.4]
どこの教師よりも教科書よりも分かりやすかったです! 三角関数(性質?)分からなかったので調べてたら このとんでもないわかりやすい図と説明が出てきて なんか泣きそうになりました笑 本当感激です! これから頼らせて貰います! 出会えて良かった、、、、、。!
=>[作者]:連絡ありがとう.