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== 三角関数の性質(まとめ) ==
■解説
 ここまでに登場した三角関数の性質を要約すると,つぎの各式になる.(1)(2)は今までに登場していないが,次の図から分かる.
(図を書けば分かるので,24個も公式を覚える必要はない.ただし,(8)だけは覚えた方がよい.)
 なお,cotθ と書く.

○半径だけは「つねに正」
▼〓縦(y)は上が正(青),下が負(赤)
▼〓横(x)は右が正(青),左が負(赤)
(2)〜(8)の比率と同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探し,次に符号を考える.
(1)   
  sin(360°×n+θ)=sinθ/
  cos(360°×n+θ)= cosθ/
  tan(360°×n+θ)= tanθ/

(1)の場所で何周か回っても,縦横半径は同じになる
(2)
  sin(90°−θ)=cosθ/
(2)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は全部正になるからcosθ
  cos(90°−θ)= sinθ /
(2)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は全部正になるからsinθ
  tan(90°−θ)= = cotθ /

(2)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.縦横が反対になり符号は全部正になるからcotθ
(3)
   sin(90°+θ)=cosθ /
(3)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は全部正になるからcosθ
  cos(90°+θ)= − sinθ /=/
(3)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからsinθ
  tan(90°+θ)= − = − cotθ
/ = /

(3)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.縦横が反対になり1つ符号が変わるからcotθ
(再掲)
○半径だけは「つねに正」
▼〓縦(y)は上が正(青),下が負(赤)
▼〓横(x)は右が正(青),左が負(赤)
(4)
   sin(180°− θ)=sinθ/
(4)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は正になるからsinθ
  cos(180°− θ)= − cosθ/ = /
(4)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからcosθ
  tan(180°− θ)= − tanθ
/ = /
(4)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからtanθ
(5)
   sin(180°+θ)= − sinθ/ = /
(5)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからsinθ
  cos(180°+θ)= − cosθ/ = /
(5)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからcosθ
  tan(180°+θ)= tanθ
/ = /
(5)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.2回符号が変わって元に戻るからtanθ
(再掲)
○半径だけは「つねに正」
▼〓縦(y)は上が正(青),下が負(赤)
▼〓横(x)は右が正(青),左が負(赤)
(6)
   sin(270°−θ)= − cosθ/ = /
(6)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからcosθ
  cos(270°− θ)= − sinθ/ = /
(6)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからsinθ
  tan(270°− θ)= = cotθ
/ = /

(6)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.縦横が反対になって符号が2回変わるからcotθ
(7)
   sin(270°+θ)= − cosθ/ = /
(7)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからcosθ
  cos(270°+ θ)= sinθ/
(7)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は正だからsinθ
  tan(270°+θ)= − = − cotθ
/ = /

(7)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.縦横が反対になって符号が1つ変わるからcotθ
(再掲)
○半径だけは「つねに正」
▼〓縦(y)は上が正(青),下が負(赤)
▼〓横(x)は右が正(青),左が負(赤)
(8)
  sin( −θ)= − sinθ/ = /
(8)の場所の sin は 縦/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからsinθ
f(−θ)=−f(θ)が成り立つ関数は奇関数と呼ばれる.sinθは奇関数
単に −がかっこの外に出るだけに見えるので,この公式を間違う生徒はめったにいない.

  cos( − θ)= cosθ/
(8)の場所の cos は 横/半径.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.符号は正だからcosθ
f(−θ)=f(θ)が成り立つ関数は偶関数と呼ばれる.cosθは偶関数
通常の展開式と同じように −がかっこの外に出るはずだと考えてしまう錯覚から,この公式を間違う生徒は多い!!

≪要注意≫
 × → cos(−θ)= −cosθ
 ○ → cos(−θ)= cosθ

  tan( − θ)= − tanθ/ = /
(8)の場所の tan は 縦/横.これと同じ比率になるものを(1)の図(角度がθの図)で探す.1つ符号が変わるからtanθ
f(−θ)=−f(θ)が成り立つ関数は奇関数と呼ばれる.tanθは奇関数
単に −がかっこの外に出るだけに見えるので,この公式を間違う生徒はめったにいない.
例題 次の式を簡単にしなさい.
(1)
sin(θ−180 °)+cos(90°+θ)
sin(θ−180°)= − sin(180°− θ)= − sinθ
cos(90°+θ)= − sinθ
だから
(原式)= − 2sinθ
(2)
sin(−θ)+sin(90°−θ)+sin(180°−θ)+sin(270°−θ)
(原式)= − sinθ+cosθ+sinθ−cosθ=0
(3)
tan(90°−θ)tan(180°+θ)
(原式)= cotθtanθ=1


【問題1】
 次の式に等しいものを下の選択肢から選んでください.
※この問題にはヒントはありません.分からなくなったら上の解説を見てください.というよりは,何度も上の解説を振り返る中で,しだいに分かるようになればよいでしょう.

この問題の評価:  次の問題を出す
sinθ sinθ cosθ cosθ

tanθ tanθ cotθ cotθ

【問題2】
 次の式に等しいものを下の選択肢から選んでください.

この問題の評価: 次の問題を出す HELP
sinθ sinθ 2sinθ −2sinθ

cosθ cosθ 2cosθ −2cosθ

tanθ tanθ2tanθ −2tanθ

cotθcotθ 2cotθ −2cotθ

sinθ+cosθ sinθ−cosθ

cosθ−sinθ sinθ−cosθ

0 1 −1 2 −2

【問題3】
 次の式に等しいものを下の選択肢から選んでください.
(1) sin255°+sin235°

−2 −1 0 1 2
(2) sin15°cos75°+cos15°sin75°

−2 −1 0 1 2
(3) (sin10°−cos10°)2+(sin80°+cos80°)2

−2 −1 0 1 2
(4) sin(90°−θ)+cos(90°+θ)+sin(180°−θ)+cos(180°+θ)


−2 −1 0 1 2
(5) sin(90°−θ)cos(90°+θ)−sin(180°−θ)cos(180°+θ)


−2 −1 0 1 2


(結果を確かめたいときの参考)
n×90°±θの三角関数をθの三角関数に直した結果の一覧表
ただし
cotθと書く.(コタンジェントθ)
cosecθと書く.(コセカントθ)
secθと書く.(セカントθ)
※見慣れない記号cotθ, cosecθ, secθが登場したら「3番目の文字の逆数」考えるとよい.
表A
θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
90°−θcosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
90°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
180°−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
180°+θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
270°−θcosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
270°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
360°−θsinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
360°+θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
※赤道からスタートしたら三角関数は変わらない.北極,南極からスタートしたら三角関数が変わる.
表B
θsinθcosθtanθ cotθsecθcosecθ
θ−90°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
θ−180°sinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
θ−270°cosθsinθcotθtanθcosecθsecθ
θ−360°sinθcosθtanθcotθsecθcosecθ
表Aを先に考えて,次のルールで符号を付けると表Bになる.
sin(B−A)=−sin(A−B):逆に引くと符号が変わる
cos(B−A)=cos(A−B):逆に引いても符号は変わらない
tan(B−A)=−tan(A−B):逆に引くと符号が変わる
cot(B−A)=−cot(A−B):逆に引くと符号が変わる
sec(B−A)=sec(A−B):逆に引いても符号は変わらない
cosec(B−A)=−cosec(A−B):逆に引くと符号が変わる
θ+90°, θ+180°, θ+270°などの三角関数は90°+θ, 180°+θ, 270°+θの三角関数に同じ
※1回転以上になる角,すなわちθ+450°, θ+540°, θ+630°,..., θ−450°, θ−540°, θ−630°,...などの三角関数はθ+90°, θ+180°, θ+270°,..., θ−90°, θ−180°, θ−270°,...の三角関数に同じ

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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の性質(まとめ) について/16.12.19]
1/tanx=cosx?
=>[作者]:連絡ありがとう.
(ア)基本公式そのものを質問しているものとして答えます.

が成り立ちますか?という質問だとします.結論から言えば,成り立ちません.
その頁の(6)にある

の右辺はコタンジェントです.

でお互いに分母と分子を入れ換えたもので,の方は授業では習う場合も習わない場合もあります.

(イ)これとは異なり,ある特定の角で1/tanx=cosxが成り立つことはありますか?という質問である場合

となる場合は

になり,
となる角度では初めの式のが定義されませんので,結局この式が成り立つ角度はないということになります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の性質(まとめ) について/16.12.4]
どこの教師よりも教科書よりも分かりやすかったです! 三角関数(性質?)分からなかったので調べてたら このとんでもないわかりやすい図と説明が出てきて なんか泣きそうになりました笑 本当感激です! これから頼らせて貰います! 出会えて良かった、、、、、。!
=>[作者]:連絡ありがとう.