■簡単な重積分の計算携帯版
○右図1のような立体の体積(縦棒の体積の総和)は,面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として,定義域D上の重積分
.f(x, y)dxdy
で求めることができます.
f(x, y)が連続関数で,各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は
. f(x, y)dx dy…(1)
または
. f(x, y)dy dx…(2)
のように,1変数の積分の繰り返しによって行うことができます.
 (1)は右図2のように,まず変数yを固定して,各々のyについて,xで積分し(図で示した壁の面積S(y)を求めて),次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています.
 (2)は図3のように,初めにxを固定してyで積分し,図で示した壁の面積S(x)を求めて,次にxで積分するものです.
○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦yxのように他の変数に依存しているときは
. f(x, y)dy dx

または0≦y≦1, yx≦1として
. f(x, y)dx dy
のように計算できます.



【基本の確認】
(1) kx dx
のようにdxの部分で示されている積分変数x以外の文字(k)は,定数とみなします.だから,この積分は
kx dx= =−0=になります.

(2) yx dx
の場合も,yxと独立な変数である限り,同様にして
yx dx= =になります.
この結果は,yの関数になるので,「次の段階としてyについて積分する」というようなことができます.
dy==1
だから
(yx dx)dy=()dy= =1
となります.
(3) 積分変数がyであるとき,例えば
xy dy
の場合は,今度はdyの部分で示されている積分変数y以外の文字(x)は,定数とみなします.だから,この積分は
xy dy= =2x
になります.
この結果は,xの関数になるので,「次の段階としてxについて積分する」というようなことができます.
2x dx=x2=1
だから
(yx dy)dx=(2x)dx=x2=1
となります.
【同種の問題が含まれる書籍】
「微分積分学U」(共立出版 基礎数学講座7巻/宇野利雄著)
「新編 高専の数学3 問題集」(森北出版/田代嘉宏著)
「理工系基礎 微分積分学」(培風館/堀内龍太郎.川崎廣吉.浦部治一郎共著)
「数学へのアプローチ」(裳華房/八木克已著)

図1
図2
図3
(参考)
(*1) y=x2のときy dxを求めよ
というような問題においては,yxの関数になっておりxと独立な変数ではありません.だから,
y dx=yx=2y ←間違い
y dx=x2 dx= = ←正しい
(*) 記号
(yx dy)dx
yx dydxとも書かれます.
この場合,各々の積分区間は0≦y≦2, 0≦x≦1となります.
また,0≦y≦2, 0≦x≦1の領域をDで表すとき
yx dydxとも書かれます.
さらに,
yx dydxdxyx dy
と書くこともあります.この場合,変数xについて積分するときの被積分関数は,例外的にdxの右に書かれていることになります.
【要点】
 次の各記号は,いずれも領域D : c≦y≦d, a≦x≦bにおいて,はじめにxで,次にyで積分することを表す.
.(f(x,y)dy)dx , f(x,y)dydx
.dxf(x,y)dy , f(x,y)dydx
【例1】
重積分((x+y)dy)dxを計算してください.
(解答)
.(x+y)dy=xy+
↑どの変数に代入するのかを明示するために,このような書き方も可能
=2x+2
.(2x+2)dx=x2+2x=3 …(答)
【例2】
D : 1≦x≦2, 0≦y≦1のとき
重積分(x2+y2)dxdyを計算してください.
(解答)
.(x2+y2)dx=+y2x
=(+2y2)−(+y2)=+y2
.(+y2)dy=y+y3= …(答)
※正しい番号をクリックしてください.
問1次の重積分を計算してください.
.(x2y dx)dy
1 2 31 4 5

問2次の重積分を計算してください.
.(x2+2y)dydx
12 2 3 44 5

問3次の重積分を計算してください.
.dxsin(x+y)dy
11 22 33 4 5π

問4次の重積分を計算してください.
D : 0≦x≦1, 0≦y≦1のとき
.ex−ydxdy
1e+1 2e−1 3(e+1)2 4(e−1)2 5e+−2


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■[個別の頁からの質問に対する回答][簡単な重積分の計算について/17.1.29]
よく解りました(理解できました)
=>[作者]:連絡ありがとう.