■不定積分(数学II.多項式)携帯版
I【n次式の積分の公式】
xndx=+C (n0)…(1)

(ただし、1dx=dx=x+C


【記号】
F(x)=f(x)f(x)dx=F(x)+C
例1
x3=3x2x2dx=+C
例2
x4=4x3x3dx=+C
例3 ただし書きの部分
x=11dx=dx=x+C

1dxdxと略す。

dx1dxの略で、0dxの略ではない。

だから、dx=x+Cになる。
【解説】
 微分の公式を思い出すと、
(x3)’=3x2またはx3=3x2
(x3+1)’=3x2または(x3+1)=3x2
(x3+2)’=3x2または(x3+2)=3x2
のように、x3+C (Cは任意の定数)の形の関数を微分すると、いずれも3x2になる。(定数Cを微分すると0になるから)

○ [用語]
 このように「微分すると3x2になる」ような元の関数を関数3x2原始関数または不定積分*といい
3x2dx
で表す。
この問題では、
3x2dx=x3+C
が成り立つ。
 不定積分(または原始関数)を求めることを積分するという。

○ 一般に
F(x)=f(x)
のとき f(x)dx=F(x)+C
と書く。

 全く初めて見る記号で違和感があるときは、
2xdx=x2+C
とは(2xを積分するとx2+Cになるとは)、
x2=2x
のこと(x2+Cを微分すると2xになる)だと言い換えるとよい。

【公式の証明】
微分の公式
xn=nxn−1
により、
(xn+1)=(n+1)xn
両辺をn+1で割ると
()=xn

したがって
xndx=+C
○ ある関数を「親」に例え、その導関数(微分)を「子供」に例えるとき、「親が決まれば子供は決まる」が「子供を決めても親は決まらない」。
 例えば、微分して3x2になる元の関数はx3だけとは限らず、x3+1 , x3+2 , x3+3 , …のように定数項だけ異なる関数もすべて微分すると3x2になる。



* F(x)の微分がf(x)になるときF(x)f(x)の原始関数という。微分を指定しても原始関数はただ1通りには決まらず、定数項の分だけ不定になる。そこで、定数項Cの部分を不定にしたままで原始関数の集まりをF(x)+Cと表したものを不定積分という。


○ 微分することを表す記号:

は、分母と分子を含めた全体で1つの記号となっており、一部分だけ約分したりすることはできない。
dの部分を「約分して」 とはできない。


○ よく似た約束が積分記号にもあり、積分記号は
f(x)dx
のように前後をサンドイッチのようにはさんだ形で使い、片方だけではダメ。
 読むときは「インテグラル・エフエックス・ディーエックス」などと読む。


○ の記号はアルファベットのSを縦長に引き延ばしたもの。

○ f(x)dxにおいてf(x)のことを被積分関数という。(積分される関数という意味)
II【定数倍、和・差の積分の変形公式】
k f(x)dx=kf(x)dx …(1)
{f(x)+g(x)}dx=f(x)dx+g(x)dx …(2)
{f(x)−g(x)}dx=f(x)dx−g(x)dx …(3)

※ 積分定数Cはまとめて1つ付けるとよい。

(1)の例
5x2dx=5x2dx=5 · +C= x3+C

のように定数k倍(この問題では5倍)は「後から」掛けてよい。

※ 5x2dx=5( +C’)= x3+5C’だと思う人がいるかもしれないが、C’が実数全体のとき5C’が表すことのできる数は実数全体なので、改めて5C’=CとおけばCだけで書ける。5Cなどと書くとズッコケ答案になるので注意しよう。

※ 「掛け算は何でも分けられる」訳ではなく、定数倍だけは後から掛けてよいという公式(1)の意味は間違いやすいので注意

 例えば
x5dx= +Cは正しいが、
x2·x3dx= · +C= +Cは正しくない。

 このように「2つの関数の積」を積分するときに、各々の積分を求めて「後で掛けてもダメ」である。「後から掛ける」のが許されるのは「定数倍」(xのないもの)だけである。
 だから
(x+1)(x+2)dx
のように多項式の積になっているものを積分するときも、
(x+1)dx(x+2)dx=( +x)( +2x)+C
などとしてはいけない。

 多項式の積分は、「展開してから」公式(2)を利用して行う。
(x+1)(x+2)dx=(x2+3x+2)dx
= x3+x+2x+C

(2)の例
(x2+x)dx=x2dx+xdx= ++C

※ x2dx+xdx=( +C)+(+C)= ++2C

だと思う人がいるかもしれないが、それは違う。
 2つの不定積分
+C+C
の任意定数Cが等しいとは限らないので、この式を丁寧に書けば
+C1++C2 (C1 , C2は任意定数)
になる。ところが、C1 , C2が任意定数のとき、C1+C2が表せる数は任意の実数なので、これらをまとめて単にCと書けばよい。

(3)は(2)と同様に考えるとよい。

○ (1)(2)(3)を通して、任意定数C(不定積分で登場する任意定数は、積分定数と呼ばれる)の付け方のまとめ:
 ⇒ 「全体をまとめて1つの積分定数Cを後ろに1つ付けるとよい。」


○ 被積分関数が積や商で結ばれているとき(  )は必要ないが、和・差・負の符号を伴うときは被積分関数を(  )で囲む必要がある。
f(x)dxは、「積」として結ばれていると考えるとよい。
f(x)dx
×
x+3dx (x+3)dx
3x2dx

x(x2−4)dx
dx

−3xdx

(−3x)dx

I(1) →

x4dx= +C
xdx= +C
dx=x+C

II(1) →

3xdx= 3xdx=3 +C= +C
5dx=5dx+C=5x+C
II(2)(3) →

 多項式の積分は、「展開してから」公式(2)を利用して行う。

(x−3)2dx= (x2−6x+9)dx
= −3x2+9x+C
x(x+2)dx= (x2+2x)dx
= +x2+C




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