指数が対数のもの

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** 指数が対数のもの： $a^{\log_ab}$ の形 **
■解説

［要点］

　　　・・・(※)

（解説1）　右図(1)の対数の定義を用いた解説：

（解説2）　右図(2)(3)の計算法則による解説：

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◆基本事項の確認◆

○　対数の定義

・・・(1) ○　対数をとる，はずす a=b←→log_ca=log_cb･･･(2)

○　対数の計算法則

･･･(3)

※　注意
指数が対数のときに，簡単になるのは底が同じときです。

底が異なれば，このように簡単になるとは限りません。(下の例題１参照)

※左の要点の参考
f(x)=a^xの逆関数は f^-1(x)=log_ax
一般に，関数とその逆関数の合成関数は恒等関数 I(x)=x となります。 a^loga^x= x
log_aa^x = x

例題1
　

が成り立つことを示しなさい。
(答案例)
両辺について底ｃの対数をとると 左辺→

右辺→

これらは等しいから，

例題2　次の各式を簡単にしなさい。
(1)　10^log10³
(2)　5^-log5³

(答案例)
(1)　10^log10³= 3　・・・答
(2) 5^-log5³= 5^log5^(1/3)= 1/3　・・・答

■問題・・・次の各式で等しいものを選びなさい。

まず左から１つクリックし，次に右から１つクリックしなさい。合っていれば消えます。間違えば「♪～^ふ_りだ^し_に戻^る～♪」

　[ヒント]

上の要点参照
2^log2^3x=3x

2^3+log2^x=2^log2^8+log2^x=2^log2^8x=8x
別解
2^3+log2^x=2³2^log2^x=8・2^log2^x=8x

上の例題１参照
log₂(x^log2³)=log₂3・log₂x
log₂(3^log2^x)=log₂x・log₂3
これらは等しいから(　)内も等しい
x^log2³=3^log2^x

■問題2　各々正しいものをクリック

(1)　 $a,b,c\gt 1$ のとき， $a^{\log_b c}$ と等しいものを次の中から選んでください．

$b^{\log_a c}$ $b^{\log_c a}$ $c^{\log_a b}$ $c^{\log_b a}$

解説やり直す

$\log_x M^n=n\log_x M$
に注意して変形することを考えます

$a^{\log_b c}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b a^{\log_b c}=\log_b c\cdot \log_b a$

選択肢の方は
$b^{\log_a c}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b b^{\log_a c}=\log_a c\cdot \log_b b=\log_a c$
$b^{\log_c a}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b b^{\log_c a}=\log_c a\cdot \log_b b=\log_c a$
$c^{\log_a b}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b c^{\log_a b}=\log_a b\cdot \log_b c(=\log_a c)$
$c^{\log_b a}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b c^{\log_b a}=\log_b a\cdot \log_b c$
等しいのは $c^{\log_b a}$ の対数のみ

(2)　 $a,b\gt 1$ のとき， $a^{\frac{1}{\log_b a}}$ と等しいものを次の中から選んでください．

$b$ $\frac{1}{b}$ $-b$ $-\frac{1}{b}$

解説やり直す

底の変換公式
$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ （ $c$ は任意の数 >0, ≠1）
に注意して，問題の指数を変形しておくと楽です

$\frac{1}{\log_b a}=\frac{1}{\frac{\log_a a}{\log_a b}}=\log_a b$
だから
$a^{\frac{1}{\log_b a}}=a^{\log_a b}=b$

(3)　 $a,b\gt 1$ のとき， $a^{-\log_a b}}$ と等しいものを次の中から選んでください．

$b$ $\frac{1}{b}$ $-b$ $-\frac{1}{b}$

解説やり直す

負の指数についての，次の公式
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
を使って，元の問題を変形しておくと楽です

$a^{-\log_a b}}=\frac{1}{a^{\log_a b}}=\frac{1}{b}$

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数が対数のものについて／16.11.4］

一番難しい例題1のところが見ても読んでもさっぱりわからない。どれだけ紙に書いて計算しようとしても意味がわからず筆が一切動かない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は指数も対数もどちらも理解していないとできません．頁の先頭にあるサブメニューをたどって，基本の定義を理解してから読み直すとよいでしょう．･･･教材の順序から推定すれば，おそらく対数の定義がまだ十分身に付いていない可能性があります．