■　極限値，不定形の極限


 ◇解説◇
【関数の極限値】
　 関数 f(x) において，x が a と異なる値をとりながら限りなく a に近づくとき，f(x) が 一定の値 b に限りなく近づく場合，
f(x) = b

と書き，x が a に限りなく近づくときの f(x) の極限値は b であるといいます。


　x が a よりも大きな値をとりながら a に近づくときと，a よりも小さな値をとりながら a に近づくのを区別するときは，
各々f(x)，　 f(x) で表わします。左右どちらから近づくかを決めないとき，f(x) で表わします。

　特に，x が 0 よりも大きな値をとりながら，0 に近づくときは f(x)，　0 よりも小さな値をとりながら，0 に近づくときはf(x)で表わします。
【簡単な極限値】
○　多項式（整関数）の極限値は，関数値（単に値を代入したもの）と等しくなります。
(2x + 1) = 3

(3x2 + 1) = 4

○　右の図は y= のグラフです。この図から，次のことが分かります。
= ∞

=−∞		 　単に x → 0 のときは，
　+∞，-∞ が定まりませんので，
　次のように書きます。

　=±∞　(「なし」も可)

= 0

= 0
○　これらから，次の極限値は直ちに求まります。

= −∞

= −∞

= 0

= 0

■問題　次の極限値を求めなさい。
(1)
(x + 2) = 		(2)
=
(3)
= 		(4)
=
(5)
= 		(6)
=

◇解説◇
◇不定形の極限◇

　不定形の極限という用語は，高校の数IIの教科書では使われていませんが，授業，問題集，参考書ではよく使われます。不定形の極限について重要なことは、極限が不定なのではなくて、見かけだけが不定だと言うことです。
　数IIで登場する不定形の極限は，分母と分子の両方が 0 に近づく場合，すなわち「見かけ上」　　になっているものを言います。（数IIIでは，他にも∞-∞など多くの型が登場しますが，数IIでは，　　だけです。）

　不定形の極限を求めるには，分母，分子が 0 になる原因を「約分によって」取り除いてから，計算します。


  • 「分子→0以外，分母→0以外」の分数の極限は，普通の分数です。

    　例　 =

  • 「分子→0，分母→0以外」の分数の極限は，単に0です。(これは不定形とは言いません。)

    　例　 = 0

  • 「分子→0以外，分母→0」の分数の極限は，単に∞（または−∞）です。(これは不定形とは言いません。)

    　例　 = ±∞

    （「なし」と書くこともあるが，正負は決まらなくても絶対値が無限になることを示すと，後の応用に役立つことが多い。）

  • 次の式のように「分子，分母の両方とも→0」の形をしているものを「不定形の極限」といいます。

    　例　

○　分母→0，分子→0という形の「不定形の極限」では，分母と分子を因数分解して，両方が0になるという原因を，「約分」によって取り除いてから，極限値を求めます。

  • 　例１　 = = (2x + 1) = 1

  • 　例２　 = = ±∞

  • 　例３　 = 4x = 0

  • 　例４　 = = (x + 1) = 2
※　例１で x で約分できるのは，「 x が 0 でない値をとりながら限りなく 0 に近づく」ので， x ≠ 0 だからです。

　また，2x + 1 = 1 となるのではありません。
 = という記号を使っていますが，2x + 1 が 1 になるのでなく，2x + 1 の極限値が 1 になるということです。

※　極限値と関数値の違いは，主に数IIIで扱いますので，数IIで深入りするのは得策ではありません。
○　次のような式では，極限の計算をするときに，lim の下の→の前に書かれた文字だけが変数で，他の文字は定数と見なします。
  • 　例　f’(a) = = = 2(x + a) = 4a

  • 　例　f’(a) = = = (4a + 2h) = 4a

■問題　次の極限値を求めなさい。
問題
答案
(1)
=
(2)
=
(3)
=
(4)
(−1)
=
(5)

=
(6)

=
(7)

=
(8)

=

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