■軌跡の方程式携帯版
【基本となる考え方】
 2つの複素数z1 , z2間の距離は
|z2−z1|

○ 定点からの距離が一定である点の軌跡
 定点をA(α),動点をP(z),正の定数をrとするとき,
|z−α|=r (>0)
を満たす点P(z)の軌跡はAを中心とする半径rの円になる.
特に,|z|=rは原点を中心とする半径rの円になる.
(解説)
 図のように,定点A(α)から動点P(z)までの距離は|z−α|で,これが一定の値rになるのだから,円になります.
z=x+yi, α~a+biとして,|z−α|=r(x, y)座標で表すと,
=r
(x−a)2+(y−b)2=r2
となって,数学IIで習う円の方程式と一致する.
 しかし,複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので,特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし,複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい.
【例】
 方程式|z−i|=2を満たす動点P(z)の軌跡は,iを中心とする半径2の円になる.

○ 2定点からの距離が等しい点の軌跡
 2定点をA(α), B(β),動点をP(z)とするとき,
|z−α|=|z−β|
を満たす点P(z)の軌跡は,線分ABの垂直二等分線になる.
(解説)
 中学校で習うように,2定点からの距離が等しい点は垂直二等分線上にあります.
【例】
 方程式|z−i|=|z+1|を満たす動点P(z)の軌跡は,2点i, −1を結ぶ線分の垂直二等分線になる.
z=x+yiとおいて,以下のようにx, y座標で示すこともできるが,複素数の問題は複素数のまま答えるのがよく,元の問題の式を見て直接答えてよい.
|z−i|=|z+1|
|x+(y−1)i|=|(x+1)+yi|
=
(x+1)2+y2=(x+1)2+y2
y=−x
右に続く→
→続き
○ 2定点からの距離の比が一定(≠1)である点の軌跡
2定点をA(α), B(β),動点をP(z)とするとき,
|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α|
を満たす点P(z)の軌跡は,アポロニウスの円になる.
アポロニウスは円,楕円,放物線などを研究したギリシャの数学者の名前.「アポロニウスの円」は,変な形ではなく,普通の円.「アポロニウスの・・・」というのは,「2定点からの距離の比が一定であるような点の軌跡」という,この円の作り方を表す言葉.
結果を覚えるには,ちょうど直線AB上にきたときを考えると,
(1) AB間では,AB1:kに内分する点を通る.
(2) ABの外側では,(上の図は1<kの場合の例)AB1:kに外分する点を通る.
以上により
|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α|を満たす点P(z)の軌跡は,A(α), B(β)1:kに内分する点と1:kに外分する点を直径の両端とする円」になる.・・・長いセリフになるが,このように覚えるとよい.
円になることの証明は
1) xy座標に直す.
2) 中心と半径を用いて複素数の方程式直す.
3) 角の二等分線の性質を使って∠PABがつねに90°であることを示す.
などによって行うことができるが,これらの変形は長くなるので,実際の問題を解くときは|z−β|=k|z−α|ときたら,アポロニウスの円になると覚えておく方がよい.

【例】
 方程式2|z|=|z−3|を満たす動点P(z)の軌跡は,2点1, −3を直径の両端とする円になる.
以下のように変形して示すこともできるが,長くなるので,031:2に内分する点1」「031:2に外分する点−3」を直径の両端とする円と考える方がよい.
(参考)
4|z|2=|z−3|2
4z=(z−3)( −3)
4z=z−3z−3+9
3z+3z+3−9=0
z+z+−3=0
(z+1)( +1)=4
|z+1|=2
≪注意≫
2定点からの距離の比が1:1 ⇒ 直線(半径が無限大の円)
2定点からの距離の比が1:k, k:1 (k≠1) ⇒ アポロニウスの円
問題各々正しいものを選んでください.
(5) 次の直線に対応している方程式は
|z+1|=|z+1−2i| |z+1|=|z−1+2i|
|z−1|=|z+1−2i| |z−1|=|z−1+2i|
(7) 次の方程式で表される図形は
|z−2i|=2|z+i|



(2) 次の方程式で表される図形は
|z+i|=1

(4) 次の方程式で表される図形は
|z−1|=|z+2|

(6) 次の方程式で表される図形は
|z|=|z+2i|

(8) 次の図形に対応している方程式は
|z|=2|z−3| |z|=3|z−3|
|z−3|=2|z| |z−3|=3|z−2|
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