■3点が同一直線上にあるための条件携帯版
(「共線条件」という言い方があります:線を共にするということ。)
[解説]
 ベクトルの実数倍の応用として,3点が同一直線上にあるための条件をベクトルで表現す る方法があります。
 右図のように,「始点をそろえておけば」2つのベクトルの一方を伸縮して他方になれ ば,3点は一直線上にあります。
 
3点A,B,Cが一直線上にある  
←→ =t(となる実数tが存在する)

※「CB,CAの組」,「BA,BCの組」,その他「AB,CB組」でも出来ます が,右のイメージ図で「伸ばせば当たる」形にするのがコツ。 

[問題]
例1
=2+3, =3-4, =+10のとき3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明しな さい。
答案例
=(3-4)-(2+3)
  (※ 終点-始点)
   =-7
=(+10)-(2+3)
  (※ 終点-始点)
   =-+7
だから、
=(-1)・
ゆえに,3点P,Q,Rは一直線上にある。
問1
=+7, =5+4, =9+のと き3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明しなさい。
答案
=-
=-
だから、
=
ゆえに,3点P,Q,Rは一直線上にある。

問2
=, =, =のとき3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明しなさい。
答案
= +2

=
+2

=

ゆえに,3点P,Q,Rは一直線上にある。
問3
3点A(3,2),B(6,1),C(x,4)が同一直線上にあるようにxの値を定めなさい。
答案
=(3,  -1), =(x-3, 2)
(x-3, 2) = t(3, -1)より
x - 3 = 3t, 2 = -t
t = -2, x =
問4
△ABCにおいて辺ABを1:2に内分する点をP,辺BCを4:1に外分する点をQ,辺CAを1:2に内分する点をRとすると,3点P,Q,Rは同一直線上にあることを示しなさい。
答案
A,B,Cの位置ベクトルをとおくとP,Q,Rの位置ベクトルは,

となるから


=
ゆえに,3点P,Q,Rは同一直線上にある。
●==メニューへ戻る
■[個別の頁からの質問に対する回答][3点が同一直線上にあるための条件について/17.2.6]
3点が一直線上にあるようにxの値を求める問題で、学校の宿題で3点が(2,x),(x,0),(-2,6)というように二箇所にxが入っている問題が出たのですが、その場合は解き方はこの頁に載っていたものとは変わるのでしょうか?教えていただけると嬉しいです。
=>[作者]:連絡ありがとう.同じ考え方で解けます.なお,問題の写し間違いのせいか,このままでは解けません(虚数解になります.)
他に,直線の方程式で考える場合はこの頁(ただし,未知数をxのままで計算すると直線の方程式のxと混ざってしまうのでtに変えるなど工夫を要す)